Matematik - Matematik minimum - Terminologi och begreppsförklaring

- ren eller teoretisk matematik, (pure mathematics), som avhandlar de satser, där kvantiteterna betraktas i för sig själva, d.v.s. endast som teoretiska storheter (tal, vektor, matris etc.) och

- praktisk eller tillämpad matematik, (applied mathematics), där den rena matematikens läror används, på verkliga naturen eller allmänna livet förekommande kvantiteter d.v.s. verkliga (sinnliga) storheter. (Vardagsmatematik kallas den tillämpad matematik som vi har i våra vardagliga aktiviteter.)

- retorisk matematik - där den rena och den tillämpade matematikens läror används för att argumentera för saker och leda eller missleda människor (statistik).

- skolmatematik där matematiska uppgifter används för att sysselsätta elever med låga kostnader, för att selektera bort de icke önskade människor från högre utbildningar.

De i den rena matematiken behandlade storheter är av två väsentligt olika slag, nämligen:
- skilda kvantiteter (quantitates discretae), samt
- sammanhängande kvantiteter (quantitates continuae).

Diskret matematik
Samlingsnamn på ett antal matematiska moment, som har det gemensamt att de behandlar finita processer, dvs de tillämpar inte gränsvärdesresonemang. Den klassiska analysen arbetar med kontinuerliga förlopp, medan man i den diskreta matematiken behandlar diskreta förlopp. Medan den förra fått sin främsta tillämpning inom den klassiska fysiken, har den senare fått sina främsta tillämpningar inom vad man brukar kalla 'informationsteknologi'. Diskret matematik är alltså inte en ny matematisk disciplin; snarare är det frågan om välkända matematiska områden som fått nya tillämpningar. Till dessa matematiska områden hör bl.a. matematisk logik, mängdlära, kombinatorik, grafteori, beräkningsteori, kryptografi, spelteori

Definition är en beskrivning, på vilken en sak skiljs från var och en annan. Denna beskrivning bör vara tydlig och kort, samt så beskaffad, att definitionen och den definierade saken kunna sägas om varandra, varförutan den givna beskrivningen icke är en definition av saken.

Det klassiska sättet att definiera ett begrepp är att ange vilket begrepp som är det närmast högre och mer omfattande (genus proximum = närmast överordnad kategori) och härtill lägga de särskilda kännetecken som skiljer begreppet i fråga från andra av samma slag (differentia specifica = särskiljande egenskap).

En utsaga är något om vilket man kan utsäga sann eller falsk. T.ex. ekvation, olikhet.
En öppen utsaga, som t.ex. 2x + 1 < 3, x² + 2x + 3 = 0 (ekvation) eller
en sluten utsaga, som 2 < 3, a := 5, y = (x), y(x) := x² + 2 (värdesättning, värdetilldelning)
En utsaga vars sanningsvärde beror på värdena hos vissa variabler kallas öppen.

De matematiska satserna är ibland så enkla, att deras riktighet genast inses. Dylika satser kallas axiom.
Axiom är en sats, som innefattar ett påstående, vars sanning betraktas såsom självklar.

Grundsatserna skall, enligt Aristoteles, vara evidenta, dvs. om man betraktar dem så skall deras sanning vara uppenbar; var och en som ser dem måste säga sig, att så måste det vara. Så ser man inte på grundsatsernas ställning idag; de kan väljas fritt; det enda krav man har på dem är att de inte motsäger varandra.

t ex axiomen ur Euklides Elementa I.:
1. Storheter som är lika med en och samma storhet är sinsemellan lika.
2. När man adderar lika storheter till lika storheter, så blir även summorna lika storheter.
3. När lika storheter subtraheras från lika storheter, så blir även resterna lika storheter.
4. Storheter som täcker varandra är lika stora.
5. Det hela är större än sin del.

Postulat är en sats, vari man påstår, att något kan göras, utan att man anser sig behöva bevisa, att det kan ske.

T.ex. "Från vilken punkt som helst kan man dra en rät linje till vilken annan punkt som helst."

Oftast är matematiska satserna icke så lättfattliga; deras riktighet måste bevisas.

Teorem, som utgör nödvändiga matematiska grundsatser, vilkas riktighet måste bevisas. Själva satsen, påståendet (tesen) antar alltid en förutsättning, antagandet (supposition, hypotes), förutan vilken satsen icke gäller.

T.ex. "Om sidorna i en triangel är lika stora, så triangelns vinklar är lika stora." Den förra hälften av uttrycket utgör antagningen, förutsättningen, förutan vilken den senare delen, eller själva tesen icke gäller.

Uttalande som antingen är sanna eller osanna (falska) kallas påståenden. När det gäller sådana påståenden, där de ord som ingår sällan har en precis mening, kan distinktionen mellan sanna och osanna påstående bli något tveksam.
Om vi har ett påstående som innehåller en eller flera obekanta, och som blir sant eller osant varje gång vi substituerar värden för obekanta, säger vi att påståendet är ett öppet påstående. T.ex. är "x² + x - 1 = 0" ett öppet påstående som innehåller en obekant x med de reella talen som variationsområde, eller kortare, ett öppet påstående om det reella talet x.

Problem kallas sådana satser, som framställer frågor till besvarande (lösande). Själva frågans lösning (resolution) utförs och bevisas i stöd av förut kända teorem.
I problem begärs att något kan göras, men vari man både måste visa, hur det ska göras, och bevisa, att det begärda blivit gjort.

Korollarium eller följdsats är ett sats, vars riktighet blivit bevisad i ett nästföregående teorem; den utgör således en slutsats av detta, därför beviset kan utelämnas.
Följdsatser insättas omedelbart efter de satser, från vilka de härledas.

Lemma eller hjälpsats är ett satts, härledd i syfte att endast begagnas i beviset för en annan sats.

T.ex. Vi försöker bevisa en sats, låt oss kalla den A. Under arbetets gång kommer vi att förmoda att en annan sats, B, kanske är giltig. Om B vore sann skulle vi kanske kunna använda den för att bevisa A. Vi antar provisoriskt att B gäller, sparar beviset till senare och fortsätter i stället att bevisa A. En sådan antagen sats B kallas hjälpsats till den ursprungligen givna satsen A.

Q.E.D. (Quod Erad Demonstrandum) eller V.S.B. (Vilket Skulle Bevisas)
Förkortningen används som avslutning på logiska och matematiska bevis för att tydligt utmärka att beviset slutar.