WolframAlpha

Lexikon

Formler

Terminologi länkar

Svenska matematiklänkar

Math. Resources on the Internet

Böcker

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

Nedladdning

Mängd

En mängd är en sammanfattning av objekt som kallas mängdens element.

Objekten kan vara konkreta föremål eller abstrakta begrepp.
Exempelvis tillhör en punkt på en linje (betraktad som en mängd av punkter); talet 5 tillhör mängden av primtal.

Mängdteori, mängdlära

Teori om mängder, utvecklad av Georg Cantor vid slutet av 1800-talet. Cantors teori visade sig senare vara kontroversiell och behövdes revidera, men grundläggande begrepp av naiv mängdlära har integrerats i skolmatematiken efter införandet av Nya matematiken.

Punktmängd

Med punktmängd förstås en följd av punkter, vilka är ordnade efter en given lag. Är alla punkterna belägna på en rät linje, kallas punktmängden lineär. Den enklaste lineära punktmängden är den, där punkternas avstånd från en viss fast punkt är lika med de naturliga talen 0, 1, 2, 3, 4, o.s.v. — Är punkternas antal obegränsat, kallas punktmängd oändlig. Med gränspunkt till en oändlig punktmängd förstås en punkt, i vilkens närmaste omgivning, hur liten denna än görs, finns ett obegränsat antal till punktmängden hörande punkter. Så är t.ex. för den oändliga lineära punktmängd, vars avstånd från en fast punkt representeras av talen 1, 1½, 1¾, 1⁷/₈, 1¹⁵/₁₆, o.s.v., den punkt, som svarar mot 2, en gränspunkt. Teorier för punktmängder har i våra dagar blivit utbildad särskildt av G. Cantor och erhållit en värdefull användning vid klassifikationen av olika slags funktioner. (från Nordisk familjebok)

Mängder kan symboliseras med mängddiagram (Venn-diagram). Man ritar då en kontur och representerar elementen i mängden med punkter inom konturen och objekt, som inte tillhör mängden med punkten utom konturen.

Om alla elementen i en mängd A tillhör en mängd B, så sägs A vara en delmängd till B; B sägs omfatta A. Man skriver A B. Om därjämte minst ett element i B inte tillhör A, sägs A vara en äkta delmängd till B: A  B. Två mängder är lika, om var och en är delmängd till den andra. Mängderna innehåller då exakt samma element.

Mängdoperation	Betydelse	Venn-diagram
Unionen av mängderna A och B är den mängd som består av de element som tillhör minst en av A och B Exempel {1,2,3} {3,4,5} = {1,2,3,4,5}	A  B := {x|x  A eller x  B }
Snittet av mängderna A och B är den mängd som består av de element som tillhör både A och B Exempel {1,2,3} ∩ {3,4,5} = {3}	A ∩ B := {x|x A och x B }
Två mängder som saknar gemensamma element kallas disjunkta	A ∩B = Ø
Differensen av mängden A och mängden B är den mängd, som består av de element i A som inte tillhör B.	A \ B := {x|x A och x B }
Om elementen i en mängd A tillhör en grundmängd E, kallas mängden av de element som tillhör E men inte tillhör A för komplementet till A och betecknasEA	EA :={x|x E och x A }

Se beteckningar för mängder

Exempel
Sätt M = {x: x²-3x+2=0}. Då består M alltså av alla reella tal x, sådana att x²-3x+2=0. Eftersom denna ekvations rötter är 1 och 2 vi här att M={1,2}

Ordnat par
Ett par av objekt a och b givna i bestämd ordning kallas ett ordnat par.
(a, b) utläses "det ordnade paret a b" eller kortare "paret a b"
a kallas parets första komponent och b dess andra komponent.

Ett ordnat par där komponenterna är tal kallas ett talpar.

Det ordnade paret (a,b) av två objekt, a och b definieras mängdteoretiskt som {{a},{a,b}}. Det är lätt att se, att (a,b)=(x,y) om och endast om a=x och b=y.

En ordnad n-tipel (x₁, x₂, x₃, …, x_n)kan beskrivas som en mängd av ordnade par,
exempelvis: (x₁, x₂, x₃, …, x_n) = {(1,x₁),(2,x₂), …, (n,x_n)}

Produktmängden av mängderna A och B är den mängd, som består av alla ordnade par (a, b) där a  A och b  B och betecknas A × B.
A × B utläses "A kryss B" eller "produktmängden av A och B"

A = {x, y, z}
B = {1, 2}
A × B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}

Mängdalgebra

A ∪ (B C) = (A B) C	A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C	associativ
A B = B A	A ∩ B = B ∩ A	kommutativ
A A = A	A ∩ A = A	idempotent
A Ø = A	A ∩ Ø = Ø
A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)	A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)	distributiv
CE(A B) = CEA ∩ CEB	CE(A ∩ B) = CEA CEB	Om A, B ⊂ E (de Morgan)
CB(CBA) = A		Om A ⊂ B
A \ B = CA(A ∩ B)
A × (B C) = (A × B) (A × C)	A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)	A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)

Ett element a i exempelvis en multiplikativ grupp kallas idempotent, om a² = a.