WolframAlpha

Lexikon

Formler

Terminologi länkar

Svenska matematiklänkar

Math. Resources on the Internet

Böcker

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

Nedladdning

Kombinatorik kallas den del av aritmetiken, som sysslar med att undersöka, på hur många sätt ett givet antal element kan ordnas och sammanställas i grupper.
Man skiljer på permutationer, kombinationer och variationer (delpermutationer).

Alla element (n) ingår i sammanställningen		Permutationer	Pn = n!
En del av elementen (k eller r) ingår i sammanställningen (k < n)	Olika ordningsföljd räknas för samma sammanstälningar Kombinationer av k st valda bland n st utan hänsyn till ordning.	Kombinationer	nCr =
	Olika ordningsföljd räknas för olika sammanställningar Permutationer av k st valda bland n st med hänsyn till ordning.	Variationer delpermutationer	nPr = ·n!

Permutationer

En permutation är en sammanställning av n element. Varje element förekommer en och endast en gång i permutationen.

A. Permutationer utan upprepning. Alla element är olika.
   Antalet permutationer är då n!   (n-fakultet)

Ex.   7 elever kan ställas upp i rad på:
P₈ = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040 olika sätt.

B. Permutationer med upprepning. Alla n element är inte olika.
Det är t.ex. två grupper, den första med k₁ lika element, den andra med k₂ lika element.
Antalet permutationer blir då:

Ex.   Elementen A, A, A, B och B permuteras.
Antalet permutationer är:
 
AAABB AABAB AABBA ABAAB ABABA ABBAA BAAAB BAABA BABAA BBAAA

n!=1·2·3·…·(n - 1)·n

T.ex. är 5!=1·2·3·4·5=120.

n! = n·(n - 1)!

Om man nämligen väljer n = 1 blir ju uttrycket 1! = 1·0! och för att det ska stämma måste 0! vara 1.
Betecknas även med Π (n)

Gamma-funktion utvidgar fakultetsbegreppet till alla positiva reella tal:

Kombinationer

En kombination är en sammanställning av endast k av n olika element (k < n). Olika ordningsföljder har inte någon betydelse. Så t.ex. är ab och ba samma kombination

A. Kombinationer utan upprepning. Varje element får förekomma endast en gång
Antalet kombinationer är (binomialformeln):

Betecknas även: C(n,k); C_n,k; nCk (nCr).

Binomialkoefficienten (utläses "n över k" eller "n välj k") är koefficienten av xⁿ i utvecklingen av (1 + x)ⁿ och kan enligt binomialsatsen beräknas som

Ex.   Antal kombinationer med 5 element till en mängd med 8 element:
 

B. Kombinationer med upprepning. Ett element får förekomma flera gånger i kombinationen.
Antalet kombinationer är:

Ex. Två av de fyra elementen a, b, c, och d kombineras.
Antalet kombinationer är:  
Kombinationerna är: aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd

Variationer (delpermutationer)

En variation är en sammanställning av bara k av n olika element (k < n).
Olika ordningsföljder räknas som olika sammanställningar.
Antalet permutationer av p olika objekt valda bland n givna

A. Variation utan upprepning. Om ett element får endast användes en gång är antalet variationer:

Betecknas även: P(n,k), nPk (nPr)

Ex. Två valda av de tre elementen 1,2 och 3 permuteras.
Antalet variationer är:  
12  13  21  23  31  32

B. Variation med upprepning. Samma element får användas flera gånger.
Antalet variationer är:

Ex. Två av de tre bokstäverna A, B och C varieras.
Antalet variationer är:
AA AB AC BA BB BC CA CB CC

Binomialsatsen

Newtons binomialteorem.
Utvecklingen
där n är ett positivt heltal.

Koefficienterna kallas binomialkoefficienter och .
Om n inte är ett positivt heltal gäller i stället den oändliga serieutvecklingen:

Binomialkoefficienterna kan ställas upp i den s.k. Pascals triangel, som bygger på det viktiga sambandet

så att t.ex.