WolframAlpha

Lexikon

Formler

Terminologi länkar

Svenska matematiklänkar

Math. Resources on the Internet

Böcker

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

Nedladdning

Talföljd

En talföljd (följd) (en sekvens, en progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal.
Talföljd kallas även serie i äldre litteratur.

a₁,  a₂,  a₃,  …  a_n-1,  a_n, a_n+1,  …

Talen a (a_n) kallas talföljdens element eller talföljdens term.

Talföljden kan betraktas som en funktion sådan att mot varje positivt heltal n svarar ett bestämt tal a_n.

Talföljden a₁, a₂, …, a_n, … tecknas ofta kortare

Talen i följden behöver inte ha olika värden, t ex 1, 2, 1, 2, 1, 2, …

För vissa talföljder kan elementen a_n beräknas ur föregående element genom en formel som då kallas en rekursionsformel.

T.ex.: a_n = a_n-1 + 3           (… 4, 7, 10, 13 …)

En talföljd är

växande, om a_n+1 ≥ a_n och strängt växande om a_n+1 > a_n för alla n,
avtagande, om a_n+1 ≤ a_n och strängt avtagande om a_n+1 < a_n för alla n,
monoton, om den är antingen växande eller avtagande,
oändlig, om n kan anta hur stora värden som helst,
begränsad upptill, om det finns ett tal M, sådant att a_n < M för alla n,
begränsad nedtill, om det finns ett tal m, sådant att a_n > m för alla n

Konvergent - divergent
Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent, och b kallas talföljdens gränsvärde. En följd, som inte är konvergent, kallas divergent.

Talföljden 1/2, 1/4, 1/8, … är konvergent med gränsvärdet 0;
    -1, 1/2, -1/3, 1/4, … är konvergent med gränsvärdet 0;
    1, 0, 1, 0, 1, 0, … är divergent;
    1¹, 2², 3³, … är divergent.
En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t.ex. det rationella talet och dess decimalutveckling 0,757575 …; den senare står för den konvergeta följden 0,7, 0,75, 0,757, 0,7575, …, vars gränsvärde är .

En talföljd, sådan att differensen mellan ett element och närmast föregående är konstant. En aritmetisk talföljd är given genom a_n = a₁ + (n - 1) · d, varvid d kallas differensen.

Exempel: 5, 8, 11, 14, …, 5 + (n - 1)·3, …

Summan az elementen a₁,  a₁+d,  a₁+2d,  …,  a₁+(n-1)d i en aritmetisk talföljd kallas en aritmetisk summa (eller aritmetisk serie).

Geometrisk talföljd

En talföljd, sådan att kvoten mellan ett element och närmast föregående är konstant. En geometrisk talföljd är given genom a_n = a₁·q ^n-1, varvid q kallas kvoten.

Exempel: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … 1/2ⁿ

Summan av elementen a₁,  a₁q,  a₁q², … a₁q^n-1 i en geometrisk talföljd kallas en geometrisk summa (eller geometrisk serie).

Fibonacci-följden

Följden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … där varje tal är summan av de båda närmast föregående (definierad av rekursionsformeln f_n = f_n-1 + f_n-2, n ≥ 3, med begynnelsevärdena f₁ = f₂ = 1).
När n växer mot ∞, går f_n-1/f_n mot , som är proportionen i gyllene snittet.

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (Maintained by N. J. A. Sloane)

Serier

Om a₁, a₂, …, a_n är en följd av tal så kallas a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n för en serie.
En serie betecknas med vanligen Σa_n. Elementen i talföljden kallas seriens termer.

Om serien är ändlig med n termer, så skrivs den: a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n =
Om serien är oändlig skrivs den: a₁ + a₂ + a₃ + … =
I det senare fallet definieras delsumman (partialsumman) av de n första termerna som s_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n.

Ändliga serier

Aritmetiska summan

En serie, där differensen mellan två på varandra följande termer är konstant, sägs vara aritmetisk.

a_i = a_i-1 + d        a_n = a₁ + (n - 1) d

Om a₁ är första termen och d differensen, blir serien: a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + … + (a₁ + (n - 1)d).

Summan av termerna är:      

Aritmetiska serier av n:te ordningen. Dessa kännetecknas av att n:te differensserien har alla termerna lika [(n+1):te differensserien har alla termerna = 0]. En differensserie bildas ur en serie genom att man tar skillnaden mellan på varandra följande termer.

Summan av en aritmetisk serie av n:te ordningen

Betrakta serien	a0+a1+a2+a3+ … + ak
1:a differensserien betecknas:	a0(1)+a1(1)+a2(1)+a3(1)+ … + ak-1(1)
2:a differensserien betecknas:	a0(2)+a1(2)+a2(2)+a3(2)+ … + ak-2(2)
	osv.
n:te differensserien betecknas:	a0(n)+a1(n)+a2(n)+a3(n)+ … + ak-n(n)
(n+1):a differensserien	=0 + 0 + … + 0

Summan är:        

binomialkoefficienter se hos kombinationer

Ex.: Beräkna

Serien är av 2:a ordningen.

(%i1) sum (v^2,v,1,k);

(%i2) sum (v^2,v,1,k), simpsum;

Geometriska summan

En serie, där kvoten mellan två på varandre följande termer är konstant, sägs vara geometrisk.
Den har alltså formen: a + aq + aq² + … + aq^n-1.

Summan är:        

S_n(q - 1) = aqⁿ - a

Oändliga serier

Om delsummorna S_n = a₁ + a₂ + a₃+ … + a_n har ett gränsvärde S då n → ∞, säger man att serien är konvergent med S, annars är den divergent. Om S_n oscillerar mellan olika värden, kallas serien oscillerande.

Ex.: Den oändliga geometriska serien a + aq + aq² + … +  aqⁿ + …   konvergerar om |q| < 1 och divergerar, om |q| > 1.
I första fallet är dess summa på grund av att i gäller att qⁿ → 0.
Den harmoniska serien divergerar.

I en harmonisk följd bildar termernas inverterade värden en aritmetisk följd.
Benämningen är lånad från musiken. För att en sträng må efter hand giva tre tonerna av en durtreklang (C, E, G) måste de vibrerande längderna förhålla sig som 1/4, 1/5, 1/6, och dessa tals reciproka värden, 4, 5, 6 är en aritmetisk progression.

En alternerande serie (dvs. en serie med omväxlande positiva och negativa termer) är konvergent, om termerna är monotont avtagande dvs. a_n ≥ a_n+1 ≥ a_n+2.
En serie är absolut konvergent, om serien av termernas absoluta belopp är konvergent.

Potensserier

En serie av formen a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … + a_nx ⁿ + … kallas potensserie. Den konvergerar, då |x| < r, där r ett positivt tal (seriens konvergensradie). Det område, där |x| < r, har nämligen formen av en cirkel med radien r i den Gausska komplexa talplanet. Är x reellt, utgörs området av intervallet -r < x < r.
r fås ur följande gränsvärde:
  om dessa existerar.

T.ex.:
Serien har konvergensradien 1, på grund av att
Serien konvergerar för alla x, på grund av att

Taylorserie

För utveckling av en funktion i potensserie gäller följande formel:

där R_n kallas (Lagranges) restterm och

Mac-Laurin serie

Några potensserier

Funktion	Serieutveckling	Konvergencia	ev. anmärkn.
Binomialserier
(1 + x)n		|x| < 1
(1 ± x)-1		|x| < 1
(1 ± x)½		|x| ≤ 1
Exponentialserier
ex		|x| < ∞	Det är en Maclaurin expansion of ex. Det konvergerar till ex för alla värden av x
e		= 2,71828182846...
cosh x =		|x| < ∞
sinh x =		|x| < ∞
ax = ex ln a		|x| < ∞
Logaritmiska serier
ln(1 + x)		-1 < x ≤ 1
ln(1 - x)		-1 ≤ x < 1
ln x		x > 0
Trigonometriska funktionernas serier
sin x		|x| < ∞
cos x		|x| < ∞

(%i1) taylor(exp(x),x,0,7);

(%i2) taylor(cosh(x),x,0,9);

(%i3) taylor(sin(x),x,0,9);