WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Svenska matematiklänkar Math. Resources on the Internet Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

l'Hospitals regel
Kontinuitet
Gränsvärde
Funktion
Talföljder - Serier

Om en variabel x successivt antar värden, som allt mer och mer närma sig en viss konstant a, och det så, att skillnaden mellan a och x kan göras numeriskt mindre än vilken storhet man än må uppge, så sägs x närma sig eller tendera obegränsat (indefinit) mot a, och a kallas vara limes eller gränsvärde för x.
Detta förhållande tecknas så: lim x = a.

Gränsvärden av en talföljd

Talföljden a1, a2, a3, …, an, … sägs ha gränsvärdet A, då n → ∞, om varje tal ε > 0 finns ett tal ω, så att

| an - A | < ε för alla naturliga tal n sådana att n > ω

Talföljden an, n = 1, 2, 3, …, sägs då också vara konvergent (med gränsvärdet A), eller sägs konvergera mot A, då n går mot oändligheten.

an  A, då n → ∞ eller .

(utläses: limes för ann går mot oändligheten är A.)

Räkneregler för gränsvärden

Om och , så gäller

  1. (α och β konstanter)
  2. Om B  ≠ 0
  3. Om an ≤ bn för alla n > något n0, så är A ≤ B.
  4. Om A = B och vidare talföljden cn, är sådan, att an≤ cn≤ bn för alla n>n0.

Gränsvärden av en funktion

 = A

En funktion sägs ha gränsvärdet  A  i punkten  a,  om det till varje positivt tal  ε  hör ett positivt tal  δ  sådant att |ƒ(x) - A| < ε,  om 0 < |x - a| < δ.

Detta kan skrivas ƒ(x)  Ax  a och utläsas "fx går mot Ax går mot a".
Gränsvärdet betecknas , vilket utläses "limes för fxx går mot a".

 = B   betyder, att det till varje positivt tal  ε  hör ett positivt tal  N  sådant att |ƒ(x) - B| < ε,  om |x| > N.

Exemplar på gränsvärden Beräkningar med WolframAlpha:
limit(sin(x)/x,x->0)
limit(a^n/n!,n->inf)
limit((1+z/x)^x,x->inf)

Höger- och vänstergränsvärden

Funktionen ƒ(x) sägs ha högergränsvärdet A, då x går mot a, om till varje ε > 0 finns ett δ > 0, så att
|ƒ(x) - A| < ε  för alla x sådana att a < x < a + δ.

Funktionen ƒ(x) sägs ha vänstergränsvärdet A, då x går mot a, om till varje ε > 0 finns ett δ > 0, så att
|ƒ(x) - A| < ε för alla x sådana att a - δ < x < a.

Detta kan skrivas:
ƒ(x Ax  a+ (högergränsvärde)
ƒ(x Ax  a- (vänstergränsvärde)
och utläsas "fx går mot Ax går mot a från höger (vänster)."
Gränsvärdena betecknas resp .

Funktionen ƒ är definierad i en punkterad omgivning av x = a. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att existerar är att och existerar och är lika.

Räkneregler för gränsvärden.

Om och så gäller

  1. Om B ≠ 0
  2. Om ƒ(x) ≤ g(x) i någon punkterad omgivning av a, så är A ≤ B.
  3. Om A = B och vidare funktionen h är sådan att f(x) ≤ h(x) g(x) i något punkterad omgivning av a, så .

Exemplar:

l'Hospitals regel

används för obestämda uttryckt av typen
En enkel regel för bestämning av funktioners gränsvärden, då dessa antar en obestämd form, kan erhållas med hjälp av medelvärdessatsen.
Betrakta uttrycket

där ƒ(a) = g(a) = 0
Eftersom ƒ(a) = 0 och g(a) = 0, så gäller

Med hjälp av medelvärdessatsen erhålls
och
där x1 och x2 är belägna inom intervallet mellan x och a. Vi får alltså

Om vi låter x  a, så går både x1 och x2 mot a, eftersom båda är belägna inom intervallet mellan x och a.

Om ƒ och g är definierade och deriverbara med g'(x 0 i en punkterad omgivning av x = a samt om ƒ(x) och g(x 0, då x  a, så gäller det att
    om det gränsvärdet existerar.

Ovanstående regel kallas L'Hospitals regel (uttalas "Lå'pitalls" regel).

Skulle kvoten ƒ'(x)/g'(x) också vara obestämd, kan man upprepa tillvägagångssättet, och undersöka, huruvida uttrycket ƒ''(x)/g''(x) har något gränsvärde.

Exemplar



Kontinuitet

En funktion ƒ(x) är kontinuerlig för x = a om
ƒ(x) är definierad för x = a,
ƒ(x) har ett gränsvärdex går mot a,
detta gränsvärde är lika med ƒ(a).    
( = ƒ(a))
En funktion, y=ƒ(x) är kontinuerlig för x=a, om den för detta x-värde har ett ändligt och fullt bestämt värde, och om vidare ƒ(a+δ) tenderar obegränsat mot ƒ(a), under det δ tenderar mot noll.

Funktionen ƒ(x) sägs vara kontinuerlig i ett intervall om den är kontinuerlig i varje x i intervallet.

Om en funktion är kontinuerlig i sitt definitionsområde kallas för korthetens skull en kontinuerlig funktion.

Om funktionen ƒ(x) inte är kontinuerlig för x = a sägs ƒ(x) ha en diskontinuitet för x = a.

Begränsade talmängder

En talmängd M är begränsad uppåt om det finns ett tal B, sådant att
x ≤ B   för alla x M.
Talet B kallas en majorant till mängden M.

Talmängden M är begränsad nedåt om det finns ett tal b, sådant att
x ≥ b   för alla x  M.     
Talet b kallas en minorant till mängden M.

Talmängden M är begränsad om den är både uppåt och nedåt begränsad.

Supremumaxiomet
Varje icke-tom talmängd M som är uppåt begränsad har en minsta majorant.

Den minsta majoranten till en talmängd M kallas supremum M och skrivs sup M.

Den största minoranten till en talmängd M kallas infimum M och skrivs inf M.

 


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna
   Svenska Matematiklänkar