WolframAlpha

Lexikon

Formler

Terminologi länkar

Svenska matematiklänkar

Math. Resources on the Internet

Böcker

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

Nedladdning

Skalärer

Storheter som kan uttryckas med ett enda talvärde. t. ex. längd, värmemängd, volym kallas skalärer.

Storheter som uttryckas med komplexa tal är skalära. T.ex. Impedans (Z = R + jX).

Vektorer

Storheter som inte kan uttryckas med ett enda talvärde, kallas vektorer. Sådana är kraft, hastighet, acceleration, moment, fältstyrka etc. En vektor representeras av en sträcka till vilken man ordnat en viss riktning. Två vektorer är alltså lika om och endast om de har samma längd (storlek) och samma riktning.
Formellt kan vi definiera en vektor som en ordnad talmängd. Det betyder att två vektorer är identiska då (och endast då) de innehåller samma tal tagna i samma ordning. (2,4) är alltså inte samma vektor som (4,2).

En vektor kan betecknas med en bokstav med pil över (). Ett vanligt sätt att skriva vektorer i en text är a (fetstil).
En vektor i planet och i rymden skrivs ofta v för att skilja den från skalärer, som är (reella) tal, ofta skrivna med grekiska bokstäver.

Vektorns riktning och längd En vektor (v) bestäms av sin riktning och sin längd. Den senare kallas vektorns absoluta belopp och betecknas med || (|v|). Den är en positiv skalär storhet. Vektorn kan också anges genom sin begynneslepunkt P och ändpunkt Q (då skrivs den ) eller genom koordinaterna för ändpunkten, om begynnelsepunkten ligger i origo. Om O är en fix punkt i planet eller rummet svarar till varje punkt P i planet resp. rummet en vektor . Denna vektor kallas ortsvektor (radius vektor) för punkten P. :s koordinater x, y, z uppfattas då som P:s koordinater.

En s. k. fri vektor kan tänkas placerad i vilken punkt som helst i rummet.
De i fysiken förekommande vektorerna är dock i allmänhet ej fria utan tänkas placerade i en viss punkt.

En vektor av längden 1 kallas enhetsvektor och betecknas (e). En godtycklig vektor med riktningen och absoluta beloppet || kan också skrivas:

          Således

Två vektorer sägs vara lika, om de har samma längd och samma riktning. En vektor av längden 0, för vilken alltså begynnelsepunkt och ändpunkt sammanfaller, kallas nollvektor.
Nollvektorn är definierad enbart för räkningens skull, saknar både längd och riktning.

Komponent Om , och är tre i rummet givna vektorer, som inte ligger i ett plan, kan man skriva Vektorerna x, y och z kallas komposanter, talen x, y och z koordinater för . Vektorerna , och kallas basvektorer. Då basvektorerna är fastslagna kan beteckningen = (x, y, z) användas. En vektor kännetecknas alltså av sina tre komponenter:  = (vx, vy, vz) motsvarande koordinaterna i rummen, vx är vektorns projektion på x-axeln osv. De tal som ingår i vektor kallas komponenter.

Basvektorer i tredimensionella orthonormerad koordinatsystem betecknas ofta med: i, j, k och komponenter skrivs med index. u = u1i + u2j + u3k = (u1, u2, u3) och längden för vektorn beräknas enligt

Operationer med vektorer

Om är en vektor och λ en skalär storhet, menas med λ den vektor, som har längden |λ|·|| och samma riktning som , om λ är positiv, motsatt om λ är negativ. Parallella vektorer Två vektorer = (ux, uy, uz) och  = (vx, vy, vz) är parallella precis då det finns ett tal λ så = λ·

Addition av vektorer

Parallellogrammetoden:
Med + menas den vektor, som är diagonal i den parallellogram, vars sidor är vektorerna och .

Polygonmetoden:
Vektorerna ritas efter varandra i godtycklig ordning. Resultantens vektor går från utgångspunkten till den sist ritade vektorn. Om denna spets sammanfaller med utgångspunkten, dvs om vektorpolygonen sluter sig, är resultanten noll.

Parallellogrammetod	Polygonmetod

Man har:  +  = (u_x, u_y, u_z) + (v_x, v_y, v_z) = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)

Subtraktion av vektorer

Vektorn -= + (-) betraktas som summan av vektorn och (-)

Räkneregler

+	=	+
+(+)	=	(+)+
λ(+)	=	λ+λ
-	=	0

Triangelolikheterna:

Lineära samband:

Om för två vektorer och gäller: λ + μ=0, där λ och μ är skalärer, är vektorerna parallella.

Om tre vektorer , och gäller: λ + μ + ν = 0, där λ, μ och ν är skalärer, så ligger vektorerna i ett plan.

Om , , och är 4 godtyckliga vektorer, kan man finna 4 skalärer α, β, γ, och δ, så att

α + β + γ + δ= 0.
Härav följer att en godtycklig vektor kan framställas med hjälp av 3 enhetsvektorer.

Linjärt beroende och linjärt oberoende

Om tre 3-dimensionela vektorer ligger i samma plan kan alltid en av vektorerna skrivas som linjär kombination av de två andra:

eller

Man säger att , och är linjärt beroende.
För godtyckligt antal dimensioner säger man att vektorerna v₁, v₂ … v_n är linjärt beroende om λ₁v₁ + λ₂v₂ + … + λ_nv_n = 0 för en svit skalärer λ₁, λ₂ … λ_n där inte alla är = 0.
I annat fall är vektorerna linjärt oberoende.

En vektor är alltid linjärt oberoende om den inte är nollvektorn.
Två vektorer är linjärt oberoende om och endast om de inte är parallella.
Tre vektorer är linjärt oberoende om och endast om de inte ligger i plan.

Skalärprodukt (Inre produkt eller punktprodukt)

Beteckna med φ vinkeln mellan och (0 ≤ φ ≤ π). Skalärprodukten · definieras så: ·=||·||·cos φ Geometriskt kan punktprodukten tolkas som projektionen av den ena vektorn på den andra. Om vektorerna definieras med koordinaterna (xu, yu, zu), (xv, yv, zv) för sina ändpunkter (vektorerna placerade i origo) blir skalärprodukten: eller u·v = (u1i + u2j + u3k)·(v1i + v2j + v3k) = u1v1 + u2v2 + u3v3 eftersom i·i = j·j = k·k = 1 i·j = i·k = j·i = j·k = k·i = k·j = 0

Räkneregler

·	=	·
·(+)	=	·+·
λ·	=	λ(·)
·	=	0, om ⊥

Ex.: Mekaniskt arbete vid s förflyttningen av en kropp mot F kraft: W = F·s

Vektorprodukt (Yttre produkt eller kryssproduk)

Med vektorprodukten × (uttalas "u kryss v"). till två vektorer och menas den vektor (), som till sin längd är lika med ytan av den parallellogram, som uppspänns av och och riktad vinkelrätt mot denna på så sätt, att , och bildar ett högersystem. |×|=||·||·sin φ eller u×v =  (u1i + u2j + u3k)×(v1i + v2j + v3k) = (u2v3 - u3v2)i + (u3v1 - u1v3)j + (u1v2 - u2v1)k Eftersom i×i = j×j= k×k = 0 i×j = k = -j×i    j×k = i = -k×j    k×i = j = -i×k Ofta skrivs vektorprodukten i komponent form med hjälp av en determinant: Räkneregler ×(+) = ×+× λ(×) = λ× = ×λ × = - ×

Ex.: Vridmomentet för kraften med hävstångsarmen omkring vridningspunkten är .