WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Svenska matematiklänkar Math. Resources on the Internet Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

definitioner
periodicitet
trigonometriska grafer
trigonometriska ettan
trigonometriska identiteter
Trigonometri
Trigonometriska funktioner
Cyklometriska funktioner
   (Arcusfunktioner)

Trianglar
Triangelsolvering
Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska identiteter
Sinusformig växelstorhet

Trigonometri

Trigonometri är det område av matematiken i vilket sambanden mellan en triangels olika storheter (vinklar och sidor) beskrivs med trigonometriska funktioner.

Trigonometriska funktioner (Cirkelfunktioner)

Trigonometriska funktioner är sammanfattande benämning på de matematiska funktionerna:

sinus för x sin x
cosinus för x cos x utläses "kosinus"
tangens för x tan x utläses "tanjens"; äldre beteckningen tg x används fortfarande
cotangens för x cot x utäses "kotanjens"; äldre beteckningen ctg x används fortfarande
secans för x sec x sec x = 1/cos x
cosecans för x csc x cosec x används också. csc x = 1/sin x

Med traditionellt skrivsätt använder man inga parenteser efter sin, cos, tan e.t.c. förkortningar om de är produkter eller potenser:
sin ωt = sin (ωt)  däremot  y·sin x = (sin xy
sin²x = (sin x)·(sin x)   och   sin x² = sin (x·x)

Definitioner och grundbegrepp

Trigonometriska relationer för spetsiga vinklar

De triginometriska funktionerna kan för spetsiga vinklar (< 90º)  definieras som förhållandena mellan vissa sidor i en rätvinklig triangel. (den oberoende variabeln är en vinkel mellan 0 och 90º)



Sambanden mellan de trigonometriska funktionerna för vinkeln α :

Eftersom α och β är komplementvinklar (α + β = 90°)

sin β = sin (90° - α) = cos α cos β = cos (90° - α) = sin α
tan β = tan (90° - α) = cot α cot β = cot (90° - α) = tan α

Trigonometriska funktioner definierade med hjälp av enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en cirkel med radie 1 (en längdenhet).

1 = enhet = OC = OE
x = vinkeln i bågmått = bågen AC
sin x = BC
cos x = OB
tan x = AD
cot x = EF
sec x = OD
csc x = OF

Trigonometriska funktioner för godtyckliga vinklar

För att definiera trigonometriska funktionerna för godtyckliga vinklar använder man en enhetscirkel med centrum i origo i ett ortonormierat koordinatsystem. (Den har ekvationen x² + y² = 1.)
Vinkeln α mellan x-axeln och en rörlig radie betraktas. (För α > 0 görs därvid vridningen i positiv riktning, för α < 0 görs vridningen i negativ riktning.) Då är sinus resp. cosinus för vinkeln lika med y- resp x-koordinaten för den rörliga radiens ändpunkt. Radiens förlängning skär de vertikala och horisontella tangenterna och ger tan α   resp. cot α.

För punkten P gäller

sinus sin α = y-koordinaten för P
cosinus cos α = x-koordinaten för P

tangens
tan α =     cos α ≠ 0

cotangens
cot α =     sin α ≠ 0

Funktionsvärdet ändras ej om till vinkeln läggas en multipel av ett varv (360º), varför de trigonometriska funktionerna är periodiska med perioden = ett varv.

Vid övergång från vinkelmått (grader) till bågmått (radianer) ersätts vinkeln α av längden av den mot α svarande bågen x, med r = 1.
Om α = 360º (helt varv), så är x = 2 π (cirkelns omkrets).
Alltså är
1º = 2π/360 = π/180 = 0,01745 radianer och
1 radian = 180º/π = 57,3º

Funktionerna y = sin x och y = cos x är alltså definierade för alla x, medan för y = tan x och y = cot x vissa värden måste uteslutas.
De trigonometriska funktionerna kunna utvecklas i potensserier, där vinkeln, x är uttryckt i bågmått.

Periodicitet

De trigonometriska funktionerna är periodiska med perioden 2π eller π.
funktionen sinus t.ex. har perioden 2π (360°)

Vilket innebär att för alla heltal k (k heltal)

sin x = sin (x + k·2π) eller sin α = sin (α + k·360º)
cos x = cos (x + k·2π) cos α = cos (α + k·360º)
tan x = tan (x + kπ) tan α = tan (α + k·180º)
cot x = cot (x + kπ) cot α = cot (α + k·180º)

Sin x, tan x och cot x är udda funktioner medan cos x är jämn.

En funktion f sägs vara udda om f(-x)=-f(x) för alla x i definitionsområdet och jämn om f(-x)=f(x) för alla x i definitionsområdet.

Grafer av trigonometriska funktioner

De trigonometriska funktionerna återges grafiskt med vinkeln som abskissa och funktionsvärdena som ordinata. Som vinkelenhet används radianer.

Cosinuskurvan erhålles genom att sinuskurvan parallellförskjuts π/2 åt vänster. Detta följer av relationen
sin (x + ) = cos x


 

De trigonometriska funktionernas värden (och gränsvärden) för vissa vinklar

α grader 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270°
x radianer 0 π
sin 0 1 0 -1
cos 1 0 - -1 0
tan 0 1 ± ∞ - 0 ± ∞
cot 1 0 - 0
 

1/√2 ≈ 0,707     1/√3 ≈ 0,588     √3 ≈ 1,732     √3/2 ≈ 0,866

Trigonometriska identiteter

Likheterna gäller för alla värden på x:

Samband mellan trigonometriska funktioner

Den "trigonometriska ettan":

  (sin x)² skrivs vanligen sin²x

  sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x
sin2 x =   1-cos2x
cos2 x = 1-sin2x  
tan2 x =  

Trigonometriska funktioner med tan x/2

Trigonometriska funktioner av summor och skillnader:

om OS = 1 då RS = sin β och OR = cos β
eftersom ΔRST ~ ΔROQ
RST α
ST = cos α · sin β     RT = sin α · sin β
RQ = sin α · cos β
PT RQ = sin α · cos β
sin (α + β) = PT + ST = sin α · cos β + cos α · sin β
 
cos (α + β) = OQ - PQ = cos α · cos β - sin α · sin β
eftersom OQ = cos α · cos β och
PQ RT = sin α · sin β
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos(x ± y) = cos x cos y  sin x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x - sin2 x
cos 2x = 2 cos2 x - 1
cos 2x = 1 - 2 sin2 x
tan 2x =
sin 3x = 3 sin x - 4 sin3 x cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos x

Trigonometriska produktformler:

Trigonometriska summaformler:

 


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna
   Svenska Matematiklänkar