WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Svenska matematiklänkar Math. Resources on the Internet Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

Principalvärdena
Räknerlagar för cyklometriska funktioner
Expansion i potensserier
Komplexa variabler
Cyklometriska funktioner
(Arcusfunktioner)
Trigonometriska funktioner
Hyperboliska funktioner

Inversa trigonometriska funktioner

Om en trigonometrisk funktion "vänds", på samma sätt som man kan uttrycka y = ln x som x = ey eller y = x² som x = , erhåller man vinkelbågen (arcus = båge) motsvarande den trigonometriska funktionen.

En vinkels storlek kan anges i bågmått, där vinkeln sättes lika med motsvarande båglängd i enhetscirkeln.

 

De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas cyklometriska funktioner eller arcusfunktioner:
Arcus sinus för x (Arcsin, ArcSin, arcsin, asin, sin-1)
    är en vinkel (en båglängd) vars sinus är x.   T.ex. arcsin ½ är lika med 30º, 150º, eller i allmänt n180° + (-1)n30°.
Arcus cosinus för x (Arccos, ArcCos, arccos, acos, cos-1)
    är en vinkel (en båglängd) vars cosinus är x.   T.ex. arccos ½ är lika med 60º, 300º, eller i allmänt n360° ± 60°.
Arcus tangens för x (Arctan, ArcTan, arctan, atan, arctg, tan-1)
    är en vinkel (en båglängd) vars tangens är x.   T.ex. arctan 1 är lika med 45º, 225º, eller i allmänt n180° + 45°.
Arcus cotangens för x (Arccot, ArcCot, arccot, arcctg, actg, arccotg, ctg-1, cot-1)
    är en vinkel (en båglängd) vars cotangens är x.   T.ex. arccot 1 är lika med 45º, 225º, eller i allmänt n180° + 45°.
Arcus secans för x (Arcsec, ArcSec, arcsec, asec, sec-1)
    är en vinkel (en båglängd) vars secans är x.   T.ex. arcsec 2 är lika med 60º, 300º, eller i allmänt n360° ± 60°.
Arcus cosecans för x (Arccsc, ArcCsc, arccsc, arccosec, acsc, csc-1)
    är en vinkel (en båglängd) vars cosecans är x.   T.ex. arccsc 2 är lika med 30º, 150º, eller i allmänt n180° + (-1)n30°.
Arcus sinus Arcus cosinus Arcus tangens Arcus cotangens Arcus secans Arcus cosecans

Principalvärdena av inversa trigonometriska funktioner

Eftersom de trigonometriska funktionerna är periodiska, blir arcusfunktionerna oändligt mångtydiga (flertydiga). För att undvika detta utväljer män s.k. principalvärdena, som begränsas till principalvärdena betecknas ofta med små begynnelsebokstäver medan de inversa funktioner beteckans ofta med stora begynnelsebokstäver, och definieras på så sätt:

Definitionsområde Värdeförråd (värdemängd)
arcsin x arcus sinus för x -1 ≤ x ≤ 1 y = arcsin x x = sin y, -π/2 ≤ yπ/2
Funktionen arcsin är den inversa funktionen till sin men den ovan nämnda begränsningen.
arccos x arcus cosinus för x -1 ≤ x ≤ 1 y = arccos x x = cos y, 0 ≤ yπ
Funktionen arccos är den inversa funktionen till cos men den ovan nämnda begränsningen.
arctan x arcus tangens för x -∞ < x < ∞ y = arctan x x = tan y, -π/2 < y < π/2
Funktionen arctan är den inversa funktionen till tan med den ovan nämnda begränsningen.
arccot x arcus cotangens för x -∞ < x < ∞ y = arccot x x = cot y, 0 < y < π
Funktionen arccot är den inversa funktionen till cot med den ovan nämnda begränsningan.
arcsec x arcus secans för x x ≤ -1 eller x ≥ 1 y = arcsec x x = sec y, 0 ≤ yπ
Funktionen arcsec är den inversa funktionen till sec med den ovan nämnda begränsningan.
arccosec x arcus cosecans för x x ≤ -1 eller x ≥ 1 y = arccsc x x = csc y, -π/2 ≤ yπ/2
Funktionen arcsec är den inversa funktionen till sec med den ovan nämnda begränsningan.

På så sätt definieras arcsin x som principalvärdet av Arcsin x genom att det krävs att dess värden skall ligga mellan -π/2 och π/2. Definitionsområdet är intervallet [-1, 1] och arcsin x är en växande funktion där med derivatan .

  Exempel:     ty     och 0 < < π

Samband mellan inversa trigonometriska funktioner och deras principalvärde är:

Arcsin x (-1)narcsin x + πn
Arccos x = ±arccos x + 2πn
Arctan x = arctan x + πn
Arccot x = arccot x + πn
Arcsec x = ±arcsec x + 2πn
Arccsc x = (-1)narccsc x + πn
          där n = 0, ±1, ±2, …

Relationer mellan principalvärdena av inversa tirgonometriska funktioner

arcsin x = - arcsin (-x) = - arccos x = [arccos √1 - x²]* = arctan = [arcctg ]*

arccos x = π - arccos (-x) = - arcsin x = [arcsin √1 - x²]* = [arctan] = arccot

arctan x = -arctan (-x) = - arccot x = arcsin = [arccos ]* = [arcctg ]*

[ ]* gäller endast om x är positiv

Expansion i potensserier

Principialvärdena kan expanderas i potensserier:


 

Komplexa variabler

Definitionerna av de inversa trigonometriska funktionerna av komplexa variabler är samma som definitionerna av funktionerna av de reella variabler.

Till exempel w = Arc sin z, om z = sin w.
Dessa funktioner har oändliga värde och kan uttryckas på följande sätt i logaritmerna:

Arc sin z = - i Ln (iz + √1 - z²),         arc sin z = - i ln (iz + √1 - z²),
Arc cos z = - i Ln (z + √z² - 1), arc cos z = - i ln (z + √z² - 1),
Arc tan z = , arc tan z = ,
Arc cot z = , arc cot z = ;

Exemplar:
arc sin (3) ≈ 1,570796327 - 1,762747174 i,
arc cos (1 + i) ≈ 0,9045568943 - 1,061275062 i,
arc sin (i) = ln(1+√2) i;


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna
   Svenska Matematiklänkar