WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Svenska matematiklänkar Math. Resources on the Internet Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

Riktningskoefficient
k-form
Tvåpunktsform
Den räta linjens ekvation
Ekvation
Algebraiska ekvationslösningar
Koordinatsystem i planet

I den analytiska geometrin i planet studeras linjer i ett koordinatsystem.

Allmän (kanonisk) form av förstagradsekvation med två obekanta:

Ekvationen Ax + By + C = 0 är en förstagradsekvation med två obekanta (x, y) och representerar en rätt linje.

Den linjära ekvationen Ax + By + C = 0 satistifieras av oändligt många (tal)par (x, y); tillsammans utgör dessa en rät linje (grafen för denna ekvation).
Och därtill även y är en funktion av x eller x är en funktion av y.
(B ≠ 0)   eller (A ≠ 0)

Exempel:  

Avskärningsform eller interceptform

för räta linjens ekvation är
där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln
och b y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

I planet är x-interceptet och y-interceptet för grafen till en ekvation dess skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln; intercepten erhålls genom att man sätter den ena variabeln lika med noll och beräknar den andra.

Exempel: 3x + 4y - 12 = 0    

Riktningsvinkel

Riktningen av en linje anges av des riktningsvinkel, som är vinkeln (tagen moturs) mellan positiva x-axeln och linjen.

Riktningsvinklarna ligger mellan 0º och 180º.
En linje som är parallell med y-axeln har riktningsvinkeln 90º.

Riktningskoefficient

Riktningskoefficienten (vinkelkoefficienten) för en rät linje definieras som , där (x1y1). (x2y2) är två olika punkter på linjen. Även definieras det med kvoten av skärningspunkts koordinater eller . Denna koefficient är lika med tangens av riktningsvinkeln. Den brukar betecknas med k i skolorna i Sverige (med m i övrigt i världen).


där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln
och b y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

Med en annan formulering är riktningskoefficienten den ordinata ökning, som svarar mot en abskissa ökning på ett.

Linjer parallella med x-axeln har noll riktningskoefficient.

Linjer som parallella med y-axeln har riktningskoefficienten ± ∞

Två parallella linjer har samma riktningskoefficient.

När två linjer har samma riktningskoefficient, är linjerna parallella.

När två linjer är vinkelräta, är produkten av deras riktningskoefficienter lika med -1.

α = α1 + 90º
k = tan(α) = tan(α1 + 90º) = - tan[180º - (α1 + 90º)] = - tan(90º - α1) =
  = - cot α1 = -

Vinkel α mellan två räta linjer, vilkas vinkelkoefficeinter är k1 och k2, erhålles ur ekvationen:

k-form

Räta linjens ekvation i k-form är

y = k x + m.

där k = riktningskoefficienten,
     m = linjens avskärning på y-axeln

utanför svenska skolor är vanliga formen: y = mx + b
    m = riktningskoefficienten (-b/a från interceptform)
    b = y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln.

Enpunktsform

Formen

y - y1 = k(x - x1)

där (x1,y1) är en punkt på linjen och k är riktningskoefficient, kallas enpunktsformen för räta linjens ekvation.

Tvåpunktsformen

för räta linjens ekvation är

,

där (x1,y1) och (x2,y2) är två olika punkter på linjen.

Exempel: Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (0, 3) och (4, 9).

Parameterformen

för räta linjens ekvation är

x = x0 + t cos α ,  y = y0 + t sin α,

där (x0, y0) är en punkt på linjen, α linjens riktningsvinkel och t en parameter.

Normalform

I planet är normalformen för ekvationen för en rät linje följande:

x cos Θ + y sin Θ - p = 0

p är vinkelräta avståndet från origo till linjen,
Θ är vinkeln mellan positiva x-axeln och linjen genom origo vinkelrät mot den givna linjen.

Räta linjes ekvation i polära koordinatsystem        

p är vinkelräta avståndet från origo till linjen,
Θ är vinkeln mellan positiva x-axeln och linjen genom origo vinkelrät mot den givna linjen.

Avståndsformler

Avståndet mellan två punkter (x1,y1) och (x2,y2) är:

Mittpunktsformeln

Om M(x0,y0) är mittpunkten på en sträcka, vars ändpunkter är A (x1,y1) och B (x2,y2) gäller formlerna

Tyngdpunktsformeln

Om en triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) är tyngdpunktens koordinater

Delningsformeln

Om M (x0,y0) delar AB i figur i förhållandet m:n, får vi enligt transversalsatsen AD:DC = m:n, varav

Därur fås

Areaformeln (Ytformeln)

En triangel har sina hörn i punkterna A(x1,y1), B(x2,y2) och C(x3,y3).
Arean av ΔABC får om vi drar arean av ABED trapets från summan av areor av ACFD och BCFE trapetser.

Efter förenkling:

Som tredjegrads determinanen:

och för en n-sidig polygon med hörn P0, P1, P2, … Pn-1

 


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna
   Svenska Matematiklänkar