WolframAlpha

Lexikon

Formler

Terminologi länkar

Svenska matematiklänkar

Math. Resources on the Internet

Böcker

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

Nedladdning

Inversa trigonometriska funktioner

Om en trigonometrisk funktion "vänds", på samma sätt som man kan uttrycka y = ln x som x = ey eller y = x² som x = , erhåller man vinkelbågen (arcus = båge) motsvarande den trigonometriska funktionen. En vinkels storlek kan anges i bågmått, där vinkeln sättes lika med motsvarande båglängd i enhetscirkeln.   De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas cyklometriska funktioner eller arcusfunktioner:

Arcus sinus (Arcsin, ArcSin, arcsin, asin, sin^-1) för x
    är en vinkel (en båglängd) vars sinus är x.
  T.ex. arcsin ½ är lika med 30º, 150º, eller i allmänt n180° + (-1)ⁿ30°.

Arcus cosinus (Arccos, ArcCos, arccos, acos, cos^-1) för x
    är en vinkel (en båglängd) vars cosinus är x.
  T.ex. arccos ½ är lika med 60º, 300º, eller i allmänt n360° ± 60°.

Arcus tangens (Arctan, ArcTan, arctan, atan, arctg, tan^-1) för x
    är en vinkel (en båglängd) vars tangens är x.
  T.ex. arctan 1 är lika med 45º, 225º, eller i allmänt n180° + 45°.

Arcus cotangens (Arccot, ArcCot, arccot, arcctg, actg, arccotg, ctg^-1, cot^-1) för x
    är en vinkel (en båglängd) vars cotangens är x.
  T.ex. arccot 1 är lika med 45º, 225º, eller i allmänt n180° + 45°.

Arcus secans (Arcsec, ArcSec, arcsec, asec, sec^-1) för x
    är en vinkel (en båglängd) vars secans är x.
  T.ex. arcsec 2 är lika med 60º, 300º, eller i allmänt n360° ± 60°.

Arcus cosecans (Arccsc, ArcCsc, arccsc, arccosec, acsc, csc^-1) för x
   är en vinkel (en båglängd) vars cosecans är x.
 T.ex. arccsc 2 är lika med 30º, 150º, eller i allmänt n180° + (-1)ⁿ30°.

Arcus sinus	Arcus cosinus	Arcus tangens	Arcus cotangens	Arcus secans	Arcus cosecans

Principalvärdena av inversa trigonometriska funktioner

Eftersom de trigonometriska funktionerna är periodiska, blir arcusfunktionerna oändligt mångtydiga (flertydiga). För att undvika detta utväljer män s.k. principalvärdena, som begränsas till principalvärdena betecknas ofta med små begynnelsebokstäver medan de inversa funktioner beteckans ofta med stora begynnelsebokstäver, och definieras på så sätt:

		Definitionsområde	Värdeförråd (värdemängd)
arcsin x	arcus sinus för x	-1 ≤ x ≤ 1	y = arcsin x x = sin y, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Funktionen arcsin är den inversa funktionen till sin men den ovan nämnda begränsningen.
arccos x	arcus cosinus för x	-1 ≤ x ≤ 1	y = arccos x x = cos y, 0 ≤ y ≤ π Funktionen arccos är den inversa funktionen till cos men den ovan nämnda begränsningen.
arctan x	arcus tangens för x	-∞ < x < ∞	y = arctan x x = tan y, -π/2 < y < π/2 Funktionen arctan är den inversa funktionen till tan med den ovan nämnda begränsningen.
arccot x	arcus cotangens för x	-∞ < x < ∞	y = arccot x x = cot y, 0 < y < π Funktionen arccot är den inversa funktionen till cot med den ovan nämnda begränsningan.
arcsec x	arcus secans för x	x ≤ -1 eller x ≥ 1	y = arcsec x x = sec y, 0 ≤ y ≤ π Funktionen arcsec är den inversa funktionen till sec med den ovan nämnda begränsningan.
arccosec x	arcus cosecans för x	x ≤ -1 eller x ≥ 1	y = arccsc x x = csc y, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Funktionen arcsec är den inversa funktionen till sec med den ovan nämnda begränsningan.

På så sätt definieras arcsin x som principalvärdet av Arcsin x genom att det krävs att dess värden skall ligga mellan -π/2 och π/2. Definitionsområdet är intervallet [-1, 1] och arcsin x är en växande funktion där med derivatan .

  Exempel:     ty     och 0 < < π

Samband mellan inversa trigonometriska funktioner och deras principalvärde är:

Relationer mellan principalvärdena av inversa tirgonometriska funktioner

arcsin x = - arcsin (-x) = - arccos x = [arccos √1 - x²]^* = arctan = [arcctg ]^*

arccos x = π - arccos (-x) = - arcsin x = [arcsin √1 - x²]^* = [arctan] = arccot

arctan x = -arctan (-x) = - arccot x = arcsin = [arccos ]^* = [arcctg ]^*

[ ]^* gäller endast om x är positiv

Expansion i potensserier

Principialvärdena kan expanderas i potensserier:

Komplexa variabler

Definitionerna av de inversa trigonometriska funktionerna av komplexa variabler är samma som definitionerna av funktionerna av de reella variabler.

Till exempel w = Arc sin z, om z = sin w.
Dessa funktioner har oändliga värde och kan uttryckas på följande sätt i logaritmerna:

Arc sin z = - i Ln (iz + √1 - z²),		arc sin z = - i ln (iz + √1 - z²),
Arc cos z = - i Ln (z + √z² - 1),		arc cos z = - i ln (z + √z² - 1),
Arc tan z = ,		arc tan z = ,
Arc cot z = ,		arc cot z = ;

Exemplar:
arc sin (3) ≈ 1,570796327 - 1,762747174 i,
arc cos (1 + i) ≈ 0,9045568943 - 1,061275062 i,
arc sin (i) = ln(1+√2) i;