WolframAlpha

Lexikon

Formler

Terminologi länkar

Svenska matematiklänkar

Math. Resources on the Internet

Böcker

Gästbok

Matematik minimum - Terminologi En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö      Klicka på någon av bokstäverna

Nedladdning

Partialbråk - partialbråksuppdelning

Partialbråksuppdelning av rationella uttryck

I många sammanhang har man behov av att kunna skriva ett rationellt uttryck (en kvot mellan två polynom) som en summa av enklare rationella uttryckt, s. k. partialbråk. Nedanstående uttryck är ett exempel på en uppdelning i partialbråk

En partialbråksuppdelning av ett rationellt uttryck i reella partialbråk är alltid möjlig om nämnarens gradtal år högre än täljarens gradtal samt om dessutom nämnaren kan upplösas i sinsemellan olika reella faktorer.

Metoden med obestämda koefficienter

Uppdela i partialbråk

Lösning
En uppdelning av detta i partialbråk sker genom att vi sätter

    där A och B är konstanter.

Bringa bråket i högra ledet på gemensam nämnare!

Betrakta nu uttrycken i täljaren i de båda leden. För att uttrycken skall vara lika, så måste vi kräva att de två förstagradspolynomen

5x + 7
och
A(x + 2) + B(x + 1) = (A + B)x + (2A + B)

skall vara identiska. Följaktligen skall dels koefficienten för x och dels den konstanta termen i förstagradspolynomen vara lika. Alltså gäller

Lösningen till ekvationssystemet blir

A = 2   och   B = 3

Den sökta partialbråksuppdelningen är följaktligen

Uppdela i partialbråk

Eftersom nämnarens gradtal är högre än täljarens gradtal och dessutom nämnaren består av reella faktorer, så kan det givna uttrycket uppdelas i partialbråk. Antalet partialbråk är lika med antalet faktorer i nämnaren.

Bringa bråket i högra ledet under gemensamt bråkstreck. Då erhålles

Bringa täljaren i högra ledet, så att detta andragradspolynom kommer under den allmänna formen. Då erhålles

För att ovanstående likhet skall gälla, så måste

Lösningen till ovanstående ekvationssystem med tre obekanta är

A = 2,   B = 1   och   C = -1.

Alltså är

En elegantare metod för bestämning av koefficienterna är följande: Betrakta det uttryck som gavs i det föregående exemplet:

1. Multiplicera båda leden med den första faktorn (x + 1). Då erhålles

    Sätt x = -1, så att faktorn (x + 1) blir lika med noll! Då erhålles

,     A = 2

2. Multiplicera båda leden med den andra faktorn (x - 1). Då erhålles

    Sätt x = 1, så att faktorn (x - 1) blir lika med noll! Då erhålles

,     B = 1

3. Multiplicera båda leden med den tredje faktorn (x + 2). Då erhålles

    Sätt x = - 2, så att faktorn (x + 2) blir lika med noll! Då erhålles

,     C = -1

Partialbråksuppdelning med Maple:

Partialbråksuppdelning med Mathematica:

Partialbråksuppdelning med Maxima: