WolframAlpha Lexikon Formler Terminologi länkar Svenska matematiklänkar Math. Resources on the Internet Böcker

Gästbok
Matematik minimum - Terminologi
En alfabetisk klickbar lista över de vanligaste definitionerna och termerna inom matematik
A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  X  Y  Z  Å  Ä  Ö     
Klicka på någon av bokstäverna
Nedladdning

Trigonometriska ekvationer
- trigonometri
- ekvation

En trigonometrisk ekvation är en ekvation där den obekanta förekommer som argument i en trigonometrisk funktion. På grund av trigonometriska funktionernas periodicitet har trigonometriska ekvationerna vanligen oändligt många lösningar.

De enklaste trigonometrikus ekvationer är:
sin x = a;   cos x = a;   tan x = a,
där a är ett givet reellt tal och många trigonometriska ekvationer kan reduceras med hjälp av de trigonometriska identiteter till dessa enkla former.

Man kallar för lösningar eller rötter sådana värdena av x, som satisfierar ekvationerna.

sin x = a
har reella lösningar om |a| ≤ 1, och den allmänna lösningen är:

x = arcsin a + 2kπ
x = π - arcsin a + 2kπ = π(2k + 1) - arcsin a

eller i grader:

x = arcsin a + 180º·2k; x = - arcsin a + 180º·(2k + 1)

där k är ett godtyckligt heltal (k = 0; ±1; ±2; ±3 …).

sin x = sin x0 är sann om och endast om x = x0 + 2kπ eller x = - x0 + (2k + 1)π

De flesta moderna symbolhanterande program kan lösa trigonometriska ekvationer:
t.ex. MuPad:

cos x = a
har reella lösningar om |a| ≤ 1, och den allmänna lösningen är:

x = ± arccos a + 2kπ     eller i grader:   x = ± arccos a ± 2k·180º där k är ett godtyckligt heltal (k = 0; ±1; ±2; ±3 …)

cos x = cos x0 är sann om och endast om x = x0 + 2kπ eller x = - x0 + kπ.

tan x = a
har lösningar om a inte är rent imaginärt tal, och den allmänna lösningen är:

x = arctan a + kπ     eller i grader:   x = ± arctan a + k·180º där k är ett godtyckligt heltal (k = 0; ±1; ±2; ±3 …)

tan x = tan x0 är sann om och endast om x = x0 + kπ och argumenten (2k + 1) är uteslutas.

Typuppgifter

1. sin x (1 + 2 cos x) = 0.
Lösning:
a) sin x = 0, x1 = kπ,
b) 1 + 2 cos x = 0, cos x = - , x2 = ± + 2 kπ.
2. tan 3x cos x = 0
Lösning:
a) tan 3x = 0, 3x = kπ, x1 = k
b) cos x = 0, x2 = (2k + 1); dessa lösningar är uteslutas eftersom tan 3x2 = tan är oändligt.
3. sin 7x = sin 5x
Lösning:
a) 7x + 5x = (2k + 1)π, 12x = (2k + 1)π, x1 = (2k + 1)
b) 7x - 5x = 2kπ, 2x = 2kπ, x2 = kπ

För de flesta trigonometriska ekvationer finns det inga enkla allmänna lösningsmetoder. Även de som ser sig ganska enkla ut (t.ex. tan x = 2x) kan man lösa bara grafiskt eller med numeriska metoder.

 


av Bruno Kevius
All kopiering tillåten!   
Matematiklexikon:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y z Ä Ö
Klicka på någon av bokstäverna
   Svenska Matematiklänkar