Vinklar

Plan rätlinjig vinkel

Vinkel är benämning på mellanrummet mellan två varandra skärande linjer, eller lutningen mellan två strålar, som utgår från en och samma punkt. Denna (skärnings)punkt kallar man vinkelns spets, de båda räta linjerna (strålarna) vinkelns ben (eller sidor).

Det finns flera definitioner för vinkelbegreppet.
I Euklides Elementa säges, att vinkel är lutning mellan tvenne varandra mötande linjer. För Apollonios är vinkeln den del av planet som inneslutes mellan de två, varandra skärande räta linjerna. En tredje uppfattning ger sig tillkänna i definitionen, att en vinkel är den del av ett varv, som den ena linjen måste vrida sig för att sammanfalla med den andra.

Två vinklar är kongruenta om den ena kan fås att sammanfalla med den andre genom translationer (parallellförflyttningar) och vridningar. Kongruenta vinklar kallas lika.

Om en rät linje (DC) står på en annan rät linje (AB), så att linje gär vinklar (ACD och DCB) på båda sidor om sig, så kallas dessa vinklar närliggande vinklar eller sidovinklar (supplementer).

En vinkel kan anses uppkomma på så sätt att en rörlig linje i den av vinkelns ben bestämda planet vrider sig omkring sin i vinkelspetsen belägna ändpunkt på det sätt att linjen i början sammanfaller med det första vinkelbenet och till sist med det andra. Storleken av denna vridning utgör måttet på vinkelns storlek. En hel omvridning medför en på detta sätt kringsvängande linje tillbaka till dess utgångsläge. Den därvid producerade vinkeln är den naturliga enheten för vinklars uppmätning och kallas ett varv eller en full vinkel.

Ett halvt varv kallas ibland en sträckt eller rak vinkel. Vinklar, som är större än halvt varv, kallas konvexa, vinklar som är mindre än halvt varv konkava.

Om det par av strålar som utgör vinkeln betraktas i en viss ordning, kallas vinkeln orienterad (eller riktad). Vinkeln kan då anses som uppkommen genom en vridning; sker denna moturs, kallas vinkeln positiv; sker vridningen medurs, kallas vinkeln negativ.

Om två linjer skär varandra så att de fyra uppkomna vinklarna är lika stora (kongruenta) sägs var och en av dessa vara en rät vinkel.
Då linjerna är rätvinkliga (ortogonala).

En vinkel som är mindre än en rät vinkel kallas spetsig.
Om vinkelbenen är motsatta strålar kallas vinkeln rak.
En vinkel som är större än en rät vinkel men mindre än ett halvt varv (två räta vinklar), kallas trubbig.

Om två räta linjer skär varandra uppkommer fyra vinklar. Ett par vinklar, som ligger bredvid varandra kallas sidovinklar. T.ex. α och β sidovinklar. De har ett ben gemensamt och de andra i förlängningen av varandra. Sidovinklar är tillsammans 180º, de är supplementvinklar. Ett par vinklar som står mitt emot varandra kallas vertikalvinklar. T.ex. α och γ är vertikalvinklar. Den ena vinkelns ben ligger i förlängningarna av den andras. Vertikalvinklar är lika stora.

Vinkelmått

Vinkelns storlek beror av vinkelbenens ställning till varandra, inte av arean mellan benen eller av längden av de båda benen.
Uppritar man med vinkelns spets till medelpunkt en cirkel får man en cirkelbåge mellan vinkelns ben. Förhållande mellan bågens längd och cirkelns radie är ett mått för vinkelns storlek och kallas det för bågmått.

Gradmått
En enhetsvinkel definieras som medelpuntsvinkeln hörande till en cirkelbåge som har längden 1/360 av cirkelns omkrets. Enhetsvinkeln tilldelas måttet en grad.

En grad skrivs 1º.     1 varv = 360º

Varje grad delas i 60 delar, som kallas minuter och betecknas ’, varje minut delas i 60 sekunder med beteckningen ”.
(18 grader 22 minuter och 15 sekunder skrivs 18º22’15”)
Detta system kallas sexagesimalsystemet. I stället för minuter och sekunder skall man helst begagna decimaldelar av grader.
{18º22’15” = (18 + 22/60 + 15/3600) º = 18.3708333…º}

På miniräknare beteckningen "deg" för grader och "grad" eller "gon" för nygrader.

Bågmått En vinkels storlek kan också anges i bågmått, där vinkeln sättes lika med motsvarande båglängd i enhetscirkeln. Enheten radian (rad) vanligen inte skrivs ut. 1 radian = 360º = 2π rad = 2π

Gon (tidigare benämnd nygrad)
Ett vinkelmått avpassat efter decimal systemet är nygrader (gon, grade). Systemet kallas centesimalsystemet.

1 rätt vinkel (90º) indelas i 100 nygrader (100^g, grade)
1^g indelas i 100 nyminuter (100^c, centesimal minute)
1^c indelas i 100 nysekunder (100^cc, centesimal secunde)

I lantmäteri anges vinkel i gon.
På miniräknare beteckningen "deg" för grader och "grad" eller "gon" för nygrader.

Vinkelsummor

Om summan av två vinklar är 90º brukar vinklarna kallas komplementvinklar.

Om summan av två vinklar är 180º brukar vinklarna kallas supplementvinklar.

Om summan av två vinklar är 360º brukar vinklarna kallas explementvinklar.

Vinkelpositioner

(En rät linje, som dras tvärsöver en figur, kallas en transversal.)

Vinklarna a1 och g2 kallas alternatvinklar liksom vinklarna b1 och d2, vinklarna g1 och a2, samt d1 och b2. Vinklarna a1 och a2 kallas likbelägna vinklar liksom vinklarna b1 och b2, vinklarna g1 och g2, samt d1 och d2. Vinklarna b1 och a2, liksom g1 och d2 kallas motstående inre vinklar.

Om de motsvarande ben av två vinklar är parallella, är vinklarna lika stora (eller de är suplementvinklar).
Om två ben av en vinkel är vinkelräta (perpendiklar) till två ben av en annan vinkel, så är vinklarna lika (eller de är suplementvinklar).

Bisektris
En stråle från en vinkels spets kallas bisektris till vinkeln om strålen delar vinkeln i två lika stora delar.
En bisektris delar en vinkel mitt itu.