Tredimensionella koordinatsystem

Parallellkoordinater i rymden

Vi betraktar tre plan, som råkas i en punkt O och som skär varandra två och två längs räta linjer, som vi betecknar som x-, y- och z-axlarna. På var och en inför vi en positiv riktning och en enhetssträcka. Vi har då i vart och ett av de tre planen ett koordinatsystem; i planet genom x- och y-axlarna (kortare: xy-planet) det koordinatsystem, som är bestämt av dessa båda axlar, o. s. v. Tillsammans utgör de tre axlarna ett koordinatsystem i rymden: O är origo (nollpunkten), axlarna koordinataxlar, planen koordinatplan.
Är P en godtycklig punkt i rymden, så lägger vi genom P planet || yz-planet; det skär x-axeln i Px. Vidare genom P planet || zx-planet, som skär y-axeln i Py, och planet || xy-planet, som skär z-axeln i Pz. Vi sätta
x = OPx ,  y = OPy ,  z = OPz ,
varvid OPx har det tecken, som svarar till den antagna positiv riktningen på x-axeln, och mätes med enhetssträckan på denna axel; analogt för OPy och OPz. Vi får då tre tal x, y, z, punkten P:s koordinater i det använda koordinatsystemet Oxyz. Mot varje punkt svarar på detta sätt ett tripel av tal (x, y, z).

Kartesiska (rätvinkliga) koordinater

Som koordinatsystem i rymden används tre plan, parvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningslinjer kallas x-, y- och z-axlarna. De tre planen benämns efter ingående axlar xy-planet, yz-planet och xz-planet. Systemet sägs vara ett högersystem, om en positiv rotation av 90º omkring x-axeln överför positiva y-axeln i positiva z-axeln.

I ett högersystem motsvaras x-, y-, och z-axlarna av högra handens tumme, utsträckta pekfinger och långfinger och på motsvarande sätt används vänsterhanden i ett vänstersystem.

Riktningscosiner
En punkt P:s koordinater (x, y, z) är vinkelrätta avstånden från P till yz-, xz-, och xy-planen. Med α, β, och γ betecknas vinkel mellan riktningen OP och axlarna.
Om OP = r, har man x = r cos α, y = r cos β och z = r cos γ.
cos α, cos β och cos γ kallas för riktningscosiner och betecknas a, b och c.
Man har: a² + b² + c² = 1       (cos² α + cos² β + cos² γ = 1)

Om två riktnigar är givna: OA med riktingscosinerna a, b, c och OA1 med riktningscosienerna a1, b1, c1 gäller för vinkeln φ mellan OA och OA1:
cos φ = aa1 + bb1 + cc1

Sfäriska (polära) koordinater

P:s läge anges med
  1. längden av radius vektor OP = r
  2. vinkeln φ mellan x-axeln och projektionen av radius vetor på xy-planet
  3. vinkeln φ mellan radius vektor och z-axeln
Sambandet med rätvinkliga koordinater är:

x = r cos φ sin φ
y = r sin φ sin φ
z = r cos φ

Cylindriska koordinater

Läget av en punkt P i rummet bestäms

av dess avstånd z (med tecken) från xy-planet och
de polära koordinaterna (ϱ, φ) för dess projektion i xy-planet.

Sambandet med rätvinkliga koordinater är:

x = ϱ cos φ
y = ϱ sin φ
z = z

Bokstavsbeteckningar för koordinater (x, y, z; r, φ, φ och ϱ, φ, z) är enligt svenska standarden SIS 01 41 11