med rationella koefficienter, där a0 ≠ 0).Exempel:
är rot till x² - 2 = 0ϕ (gyllene kovten,
) är rot till x² - x - 1 = 0.i (imaginära enheten) är rot till x² + 1 = 0.
1 +
är rot till x² - 2x - 1 = 0.
Tal - Talsystem
Tal är ett matematiskt grundbegrepp, symbol eller (siffer)tecken för (obenämnd) matematisk storhet som används vid räkning. Tal anger förhållandet mellan storheter och värden.
Om man vid en sammanfattning av föremål (en mängd) bortser från de särskilda föremålens olika egenskaper och endast fasthåller vad som är oberoende av dessa skiljaktiga egenskaper, erhålls begreppet antal, varigenom den givna mängden skiljer sig från en sådan med flera eller färre föremål av samma slag som den givnas. Bortser man dessutom från alla övriga, för föremålen gemensamma egenskaper, utom den att varje föremål är ett, erhåller man begreppet tal, d. v. s. antal abstrakta enheter. Då talet utgör ett av matematikens enklaste begrepp, kan det icke i egentlig mening definieras, vare sig som "rörelsens (tidens) mått" eller på något annat liknande sätt. Det genom abstraktion vunna begreppet tal är, närmare bestämt, helt positivt tal. Med de hela positiva talen kan man operera i enlighet med de allmänna aritmetiska reglerna, och man erhåller därigenom andra hela positiva tal. I vissa fall ge dock kalkylerna icke något sådant resultat, t. ex. då frågan är att dela 7 i åtta lika delar, och i denna händelse skulle den framställda frågan egentligen betraktas som orimlig Då emellertid ett sådant betraktelsesätt i vissa fall skulle ur praktisk synpunkt vara olämpligt och då det dessutom i rent matematiskt avseende är av intresse att inskränka de obesvarbara frågorna till ett minimum, har man successivt generaliserat talbegreppet. För att vid divisioner erhålla en kvot, även då divisorn ej är en faktor till dividenden, ha brutna tal, bråk, blivit införda. … (Nordisk familjebok)
När man med talet förenar enhetens namn, t. ex. tre skålpund, åtta kronor, o.s.v., så kallas detta ett benämnt tal; de abstrakta talen kallas i motsats därtill obenämnda.
Talindelningar
Algebraiska tal - Transcendenta tal
Algebraiska och transcendenta tal
Algebraiska tal är sådana tal, som kunna vara rötter till algebraiska ekvationer med heltalskoefficienter, (det är nollställe till ett polynom med rationella koefficienter, där a0 ≠ 0).
Exempel: är rot till x² - 2 = 0
ϕ (gyllene kovten, ) är rot till x² - x - 1 = 0.
i (imaginära enheten) är rot till x² + 1 = 0.
1 + är rot till x² - 2x - 1 = 0.
Transcendenta tal kunna icke vara rötter till algebraiska ekvationer med heltalskoefficienter.
Exempel: e, π
Reella tal:
Varje reellt tal hör en punkt på tallinjen.Icke-reellt tal är ett komplext tal, vars imaginärdel inte är lika med 0.
Mängden av reella talan betecknas med 
Ordningslagar för de reella talen
Vi använder beteckningen a < b (utläses: a mindre än b) och den likbetydande b > a (utläses: b större än a).
Om a och b är reella tal, gäller en och endast en av relationerna
a < b, a = b, b < a
För godtyckliga reella tal gäller:
a < b och b < c medför, att a < c (transitivitet av relationen "<"),
a < b medför, att a + c < b + c,
a < b och c > 0 medför, att ac < bc (en olikhet får multipliceras med ett positivt tal),
om x < y är reella tal, finns ett rationellt tal r, så att x < r < y,
om a och b är givna positiva tal, finns ett naturligt tal n, så att a < n·b (den arkimediska egenskapen).
Man säger, att mängden av de reella talen är ordnad.
Positivt tal
Ett tal är positiv om det är större än noll.
Negativt tal
Ett tal är negativt om det är mindre än noll.
Till varje positivt tal a finns ett motsvarande negativt tal -a.
Motsatta tal
Ett positivt tal och motsvarande negativa tal kallas motsatta.
Det motsatta talet kallas även den additiva inversen.
Det motsatta talet till 0 är 0. Talet 0 är varken positiv eller negativ.
Rationella tal
Talmängd (betecknas med 
) som består av alla hela tal och alla bråktal, kan uttryckas i formen a/b där a och b är hela tal, b ≠ 0.
Icke-rationellt tal är ett irrationellt tal.
Hela tal:
(alla positiva och negativa heltal och 0)
Mängden av hela tal är: 
={… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Naturliga tal, eller hela positiva tal:
Mängden av naturliga tal är
= {1, 2, 3, 4, …}
Det finns matematiker som kallar även 0 för naturligt tal.
Mängden av hela positiva tal är: + = {1, 2, 3, 4, …}
Jämna tal
Heltal som är (jämnt) delbara med 2: … -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, …
Udda tal:
Heltal som inte är delbara med 2: … -3, -1, 1, 3, 5, 7, …
Figurtal, figurligatal eller figurativa tal
(av lat. numeri figurali), sådana talserier, som bildas genom successiv addition av termerna i aritmetiska serier eller i andra figurtalserier. Så bildas t.ex. ur den aritmetiska serien
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … genom successiv addition figurtalserien
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 …, … (triangulärtal)
och ur denna på samma sätt en ny serie av figurtal
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84 … (pyramidaltal)
och 1, 8, 27, 64, 125 … (kubiktal = tredje pontens av ett naturligt tal).
| Polygonaltal Polygonaltal av 1:a ordningen kallas triangeltal (triangulärtal): 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 o.s.v.  Polygonaltal av 2:a ordningen kallas kvadrattal: 1, 4, 9, 16, … (andra potens av ett naturligt tal) Polygonaltal av 3:a ordningen kallas pentagonaltal: 1, 5, 12, 22, …  Polygonaltal av 4:a ordningen kallas hexagonaltal. Den allmänna formeln för polygonaltal av p-te ordningen är:  , där n successivt sättes lika med 1, 2, 3 … .
|
  |
Pythagoreisk trippel Naturliga tal a, b och c sådana att a² + b² = c² En rätvinklig triangel med sidorna a, b, c upfyller enligt Pythagoras sats denna ekvation. |
 |
Bråktal (se sidan om bråk)
Rationella tal som är icke heltal kallas för bråk (bråktal).
Bråkuttryck
Bråk är ett uttryck av formen 
,
a kallas täljare, b nämnare. Strecket kallas bråkstreck.
Decimaltal
Ett rationellt tal, som med ett ändligt antal siffror kan skrivas i decimalform, kallas ett decimaltal.
Ett avslutat decimalbråk (ändligt decimalbråk) kan skrivas som allmänt bråk genom att man skriver decimalerna som täljare och som nämnare en etta följd av lika många nollor som antalet decimaler. Bråket förkortas som möjligt.
Exempel:
Avgörande för om ett tal är decimaltal är om det går att skriva i decimalform, med ändligt antal siffror, och inte om är skrivet i denna form. (
som kan skrivas 3,5 är decimaltal men 
som inte kan skrivas med ett ändligt antal siffror i decimalform är inte ett decimaltal)
Irrationella tal
De icke-periodiska, oändliga decimalbråken kallas irrationella (icke rationella) tal. Exempelvis är det reella talet 0.12112111211112111112…Algebraiska irrationella tal (
)
Transcendenta irrationella tal (
)
Imaginära tal
Imaginärt tal ("Skenbart", icke reellt) t.ex. ett tal som
multiplicerat med sig själv ger en negativ produkt.
( 
, se komplext tal)
Talsystem (talbeteckningssytem)
är ett system för att beteckna och benämna i första hand heltalen. Ett talsystem bör dels vara sådant att många tal kan framställas med ett fåtal tecken (siffror), dels vara lämpat för aritmetiska operationer.
Positionssystem är ett talbeteckningssystem i vilket ett teckens (en siffras) betydelse beror av dess plats (position) i talbeteckningen.
Varje plats (position) har ett bestämt platsvärde som en heltalspotens av systemets bas.
I 340 står "trean" på en plats med platsvärdet 100 och betecknar talet 300.
Talet 375,125 kan med hjälp av platsvärdena skrivas
375,125 = 3·100 + 7·10 + 5·1 + 1·0,1 + 2·0,01 + 5·0,001
Detta brukar kallas utvecklad form.
Ett positionssystem definieras av en bas och behöver siffror, inkl. 0, som till antalet är lika med basen.
I decimaltalsystemet, även kallat tiosystemet är basen 10 och siffrorna 0 till 9, med s.k. arabiska siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.
De infördes i Europa på 1300-talet och är de mest använda i världen. Moderna araber använder siffror som ser annorlunda ut: 
Ett tal skrivet i decimalsystemet sägs vara skrivet i decimalform.
 |
|
Siffersumman (eller tvärsumman) av ett tal är den summa som erhålles, när talets siffror adderas.
Siffersumman av 235 är 2 + 3 + 5 = 10
Ett binärt talsystem (dyadiskt talsystem) har två som bas och behöver bara två tecken, 1 och 0.
Positionsvärdet multipliceras här med två för varje steg åt vänster. Så t ex är det binära talet 1 011 uttryckt i det decimala systemet detsamma som 1·8+0·4+1·2+1·1=11. Det binära systemet har kommit till användning särskilt inom datatekniken, där alternativen 1 och 0 kan motsvaras av två olika tillstånd hos en elektronisk krets eller ett magnetiskt medium. I mikrodatorer används ofta det hexadecimala talsystemet med 16 som bas. Talen betecknas med siffrorna 0-9 samt bokstäverna A-F, där A står för talet 10 och F för talet 15.