Potens - Rot

Heltalspotens (dignitet)

Heltalspotens (Potens med positiv heltalsexponent) eller dignitet

Produkten av n faktorer som alla är lika med a betecknas a ⁿ och kallas n:te potensen (n:te digniteten) av a, och a kallas potensens (dignitetens) bas (eller rot) samt n dess exponent.

(n är ett naturligt tal)

Varje tal är första potensen (digniteten) av sig själv, (a = a¹)
den andra potensen (digniteten) kallas kvadrat (a·a = a²),
den tredje kub (a·a·a = a³)
och den fjärde bikvadrat. (a·a·a·a = a⁴).
Potensen (digniteten) aⁿ utläses ofta «a upphöjt till n».

  eftersom  

,     och  

Potens - Potensuttryck

Utvidgning av dignitetsbegreppet

En potens är ett uttryck av formen aⁿ, och n kan vara vilken storhet som helst (positiv eller negativ, hel eller bruten, rationell eller irrationell, reell eller imaginär).
I potensen a ⁿ kallas a basen (eller roten), och n kallas exponenten.

Noll exponent

Definition: a⁰ = 1       om a ≠ 0.         0⁰ är ej definierad    gränsvärdena:
ska även gälla om m = n
erhålles

Negativ exponent
Definition:        om a ≠ 0.
, sätter vi nu in m = 0 
erhålles  

Bråktalsexponent
Definition:         om n ≠ 0
    eftersom
n:te rot av både sidor (enligt definition av rotutdragningen):

Irrationell exponent
Definition av potensen a ^x, för irrationell x exponent kräver en gränsprocess:

Imaginär exponent
För det komplexa talet z = x + iy definieras e^z som

Tiopotens
En potens med basen 10 kallas tiopotens.

Platsvärdena i tiosystemet kan skrivas som tiopotenser med heltalsexponenter.
10 ^-2 = 0,01
10 ^-1 = 0,1
10 ⁰ = 1
10 ¹ = 10
10 ² = 100
10 ⁶ = 1 000 000
En million är alltså = 10⁶. Detta utläses 6:te potensen av 10 eller 10 upphöjt till 6.

Upphöjning

Den räkning varigenom potenserna av en rot erhållas kallas upphöjning, potensupphöjning, exponentiering eller involution.

Potenslagar:

Multiplikation:
Division:
Upphöjning:
Rotutdragning:		om a < 0 eller n = udda
Logaritm:

Addition och subtraktion av potenser är endast möjlig, om potenserna har samma bas och samma exponent.

Rotutdragning

Med (n:te roten ur en given storhet a) menas varje (reell och icke-reell) storhet, som upphöjd till n:te potensen (digniteten) både storlek och tecken återger den givna storheten a.

Den räkning genom vilken roten till en kvantitet söks, kallas rotutdragning eller evolution, och är fullkomlig motsats till upphöjning.

    om  n ≠ 0.

Tecknet √ kallas rottecken eller rotmärke, a kallas radikanden, b kallas roten och n kallas rotexponenten eller rotindexet.

Rot inom matematiken en allmän beteckning för lösning till en ekvation, speciellt lösningen till ekvationen x ⁿ = a.

En kvadratrot till ett reellt tal a, är ett (reellt) tal x, sådant att x² = a.
"Kvadratroten ur a" tecknas , som även utläses "roten ur a"

En kubikrot till a är ett tal x, sådant att x³ = a.
"Tredje roten ur a" tecknas , som även utläses "kubikroten ur a"

En n:te rot är ett tal a, är ett tal x, sådant att xⁿ = a.
utläses "n:te roten ur a".

Om rotindex (rotexponent, rotteckens exponent) saknas avses kvadratroten (n = 2).
Rotindex behöver inte vara ett heltal.

Om rötter

• Jämte reella rötter

  Varje positivt tal har exakt två reella n:te rötter, om n är jämnt; den positiva av dessa skrivs (är n = 2, skriver man i allmänhet ).

  Exempel: = 2 (ytterligare en reell rot finns; den skrivs -= -2).

  Ett negativt tal har ingen reell n:te rot, om n är jämnt, ty varje jämn potens av ett godtyckligt reellt tal är alltid icke-negativ.

• Udda reela rot

  Är n udda, existerar exakt en reell n:te rot till talet a (positivt eller negativt); denna skrivs och har samma tecken som a. Det gäller ()ⁿ = a.

  Exemplar: existerar ej som reellt tal; = -2; = 2.

• Komplexa rötter

  Tillåts komplexa tal som rötter, gäller följande generella resultat:
  Varje (komplext) tal har exakt n (komplexa) n:te rötter.

  Exemplar:
  De två kvadratrötterna till -1 är i och -i, och
  de tre kubikrötterna till 8 är 2, -1 + i och -1 - i.

Rotlagar:
n och k är naturliga tal och större eller lika med 2.

Multiplikation:
Division:
Upphöjning:	om a > 0
Rotutdragning:
Logaritm:

t.ex.:
 = 5, eftersom 0 < 5 och 5² = 25
(-5)² = 25, men  ≠  -5,

Rötter av tal kan också skrivas som potenser:
t.ex.