Den räta linjens ekvation

I den analytiska geometrin i planet studeras linjer i ett koordinatsystem.

Ekvationen ax + by + c = 0 är en förstagradsekvation med två obekanta (x, y) och representerar en rätt linje.

Den linjära ekvationen ax + by + c = 0 satistifieras av oändligt många (tal)par (x, y); tillsammans utgör dessa en rät linje (grafen för denna ekvation).

Riktningsvinkel

Riktningen av en linje anges av des riktningsvinkel, som är vinkeln (tagen motors) mellan positiva x-axeln och linjen.

Riktningsvinklarna ligger mellan 0º och 180º

Riktningskoefficient

Riktningskoefficienten (vinkelkoefficienten) för en rät linje definieras som , där (x1, y1) och (x2, y2) är två olika punkter på linjen. Denna koefficient är lika med tangens av riktningsvinkeln. Den brukar betecknas med k.

Uttryckt på annat sätt är k den ordinata ökning, som svarar mot en abskissa ökning på ett.

Linjer parallella med x-axeln har noll riktningskoefficient.

Två parallella linjer har samma riktningskoefficient.

När två linjer har samma riktningskoefficient, är linjerna parallella.

När två linjer är vinkelräta, är produkten av deras riktningskoefficienter lika med -1.

Vinkel α mellan två räta linjer, vilkas vinkelkoefficeinter är k1 och k2, erhålles ur ekvationen:

Räta linjens ekvation i allmän form (eller k-form) är

y = k x + m.

där k = riktningskoefficienten,
     m = linjens avskärning på y-axeln

Enpunktsform

Formen

y - y1 = k(x - x1)

där (x1,y1) är en punkt på linjen och k är riktningskoefficient, kallas enpunktsformen för räta linjens ekvation.

Tvåpunktsformen

för räta linjens ekvation är

,

där (x1,y1) och (x2,y2) är två olika punkter på linjen.

Avskärningsform eller interceptform

för rätalinjens ekvation är

,


där a är x-koordinaten för linjens skärningspunt med x-axeln
och b y-koordinaten för linjens skärningspunt med y-axeln.

I planet är x-interceptet och y-interceptet för grafen till en ekvation dess skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln; intercepten erhålls genom att man sätter den ena variabeln lika med noll och beräknar den andra.

Parameterformen

för räta linjens ekvation är

x = x0 + t cos α ,  y = y0 + t sin α,

där (x0, y0) är en punkt på linjen, α linjens riktningsvinkel och t en parameter.

Normalform

I planet är normalformen för ekvationen för en rät linje följande:

x cos Θ + y sin Θ - p = 0

p är vinkelräta avståndet från origo till linjen,
Θ är vinkeln mellan positiva x-axeln och linjen genom origo vinkelrät mot den givna linjen.

Räta linjes ekvation i polära koordinatsystem        

p är vinkelräta avståndet från origo till linjen,
Θ är vinkeln mellan positiva x-axeln och linjen genom origo vinkelrät mot den givna linjen.

Avståndsformler

Avståndet mellan två punkter (x1,y1) och (x2,y2) är:

Avståndet från punkten (x1, y1) till linjen ax + bx + c = 0

Mittpunktsformeln

Om M(x0,y0) är mittpunkten på en sträcka, vars ändpunkter är A (x1,y1) och B (x2,y2) gäller formlerna

Tyngdpunktsformeln

Om en triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) är tyngdpunktens koordinater

Delningsformeln

Om M (x0,y0) Delar AB i figur i förhållandet m:n, får vi enligt transversalsatsen AD:DC = m:n, varav

Därur erhålls

Areaformeln (Ytformeln)

En triangel har sina hörn i punkterna A(x1,y1), B(x2,y2) och C(x3,y3).
Arean av ΔABC får om vi drar arean av ABED trapets från summan av areor av ACFD och BCFE trapetser.

Efter förenkling:

Som tredjegrads determinanen: