Komplext tal

Komplext tal är tal av allmännare slag än de reella talen och som tillåter räkning med rötter ur negativa tal.

Varje komplext tal är av formen
z = a + i b,

där i är den imaginära enheten, dvs en storhet som satisfierar i² = -1, och a och b reella tal, kallade realdel resp. imaginärdel av z.
a = Re(z)
b = Im(z)

Om b ≠ 0 kallas a + ib ett icke-reellt tal t ex 2 + 3i.
Om dessutom a = 0 kallas talet ett rent imaginärt tal. t ex 3i

En polynomfunktion kan sakna reella nollställen, men har alltid ett komplext nollställe. Denna viktiga egenskap motiverar utvidgningen från de reella talen, , till de komplexa, . Talet i är ett av nollställena till polynomet z² + 1 (man väljer godtyckligt ett; det andra blir då - i). Det anmärkningsvärda är att när man har infört detta nollställe i, så får också alla andra polynom nollställen, nämligen lika många som gradtalet.

Den imaginära enheten i elektrotekniken betecknas med j.

Talplan

Varje komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem, det komplexa talplanet som också brukar kallas det Gausska talplanet.

Talet z representeras av en punkt med koordinaterna a och b.

Avståndet från talpunkten till origo representerar talets absolutbelopp eller modyl eller talvärde av |z|. För detta gäller
eller generellt

Positiva vinkeln φ mellan ovannämnda sträcka och den reella axeln kallas argumentet för z, φ = arg(z) och som framgår av figuren gäller

Polära formen

Varje komplext tal (z = a + ib) kan skrivas i polär form:

z = r·(cos φ + i sin φ) (trigonometrisk form) eller
z = r·e iφ (exponentiell form)

där r är positivt eller noll (kallas absolutbeloppet av z, r = |z|)
och φ är ett reellt tal, kallat argumentet för z.

Konjugat

Talet z = a - ib kallas det konjugerade komplexa talet (även kallat konjugatet) till z = a + ib.

Det gäller att
|| = |z|,
arg = - arg z   och
z·= a² + b² = |z|²

Räkna med komplexa tal

Man kan räkna med komplexa tal på samma sätt som med reella tal om man ersätter i² med -1.

Potenser av i kan alltid reduceras till ±1 eller ± i; till exempel är i3 = i2·i = (-1)·i = -i   och   i4 = i2·i2 = (-1)·(-1) = 1.

Vid addition och subtraktion av komplexa tal skall talens realdelar, resp. imagiärdelar adderas (subtraheras) var för sig

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

och multipliceras på följande sätt:

(a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i²bd  = (ac - bd) + i(ad + bc).

Komplexa tal divideras genom att man multiplicerar täljare och nämnare med det konjugerade komplexa talet till den senare, varigenom nämnaren blir ett reellt tal:

Om man uttrycker de komplexa talen i polär form r(cos φ + i·sin φ), fås följande formler för multiplikation och division:

respektive

Detta innebär att vid multiplikation multiplicerar man absolutbeloppen och adderar argumenten, och vid division dividerar man absolutbeloppen och subtraherar argumenten.

de Moivres formel

Potenser av komplexa tal i polär form erhålls genom formeln

  på exponentiell form

De Moivres formel gäller för exponenter som är bråk lika väl som för heltal, men i det förra fallet är inte värdet entydigt bestämt.

Exempel: z = 3 + 7 i

Sammanhanget mellan trigonometriska, hyperboliska, exponential- och logaritmfunktioner i det komplexa

sin ix = i sinh x,      cos ix = cosh x
tan ix = i tanh x, cot ix = -i coth x

eix = cos x + i sin x;       Eulers formler


ex = cosh x + sinh x;

Principialvärde

Låt z vara ett komplext tal:

z = x + iy = reiφ

      (exponentialfunktionen har perioden 2π)

ln z = ln r + iφ + 2nπ i (logaritmen är en oändligt mångtydig funktion, vars grenar skilja sig från varandra med multipler av 2π i). Då n = 0, fås principialvärdet.

ln(-1) = π i; (principialdelen av logaritmen).






Ekvationer med komplexa koefficienter

Två komplexa tal a + ib och c + id är lika om och endast om a = c och b = d, dvs om och endast om real- och imaginärdelarna är lika.

Exemplar för relationer som beskriver vissa delar av det komplexa planet:

Exempel 1.
Lös ekvationen
x4 = 16 i
Skriv båda led i polarform!
För likhet erfordras att talens absolutbelopp och argument var för sig är lika. Alltså gäller
r4 = 16
r  = 2
och vidare (eftersom perioden för sinus och cosinus är 360º)
4 φ = 90º + n·360°     n = 0, ±1, ±2, …
  φ = 22,5º + n·90°
Den sökta roten är alltså
(Den första roten x1 erhålles för n = 0, den andra n = 1 etc)
Exempel 2.
Lös ekvationen
2(x + y) + i(y + 1) = 6 + 9i
Talens realdelar måste vara lika
2(x + y) = 6
och talens imaginärdelar vara lika
y + 1 = 9
Ekvationens lösning är alltså
x = -5   och   y = 8
Exampel 3.
En tvåpolens impedans är Z = (475 + j 219) Ω
Tvåpolens admittans är