Hyperboliska och
inversa hyperboliska funktioner

Hyperboliska funktioner definierade med hjälp av enhetshyperbeln (x² - y² = 1)

Liksom trigonometrisk sinus och cosinus kunna betraktas som koordinater för en utefter enhetscirkeln löpande punkt, kunna hyperbolisk sinus och cosinus uppfattas som koordinater för en utefter den liksidiga hyperbeln (enhetshyperbeln = x² - y² = 1) löpande punkt.

Definition:

hyperbolisk sinus
(sinus hyperbolicus)		 - ∞ < x < + ∞
hyperbolisk cosinus
(cosinus hyperbolicus)		 - ∞ < x < + ∞
hyperbolisk tangens
(tangens hyperbolicus)		 - ∞ < x < + ∞
(cotangens hyperbolicus) - ∞ < x < + ∞
   x ¹ 0
(secans hyperbolicus) - ∞ < x < + ∞
(cosecans hyperbolicus) - ∞ < x < + ∞
Serier:
;   gäller för alla x
;   gäller för alla x
De hyperboliska funktionerna har inga reella perioder. Däremot har sinh x och cosh x perioden 2π i och tanh x och coth x perioden π i. (i är den imaginära enheten)
Det förekommer även beteckningar som sh, ch, th, cth, sch och csch.

Hyperbelsektorns area

Arean x (streckat på figuren) kan räknas ut med hjälp av integraler*:

därifrån


 

_______________________
*

Formler


(hyperboliska ettan)











(De Moivres formel)

De inversa hyperboliska funktionerna (areafunktionerna)

De kallas så på grund av sitt sammanhang med hyperbelsektorns area

Definitioner och benämningar

alternativa beteckningar:
Räknedosor  Maple
Mathematica 
MuPad		 MathCad
Matlab
y = arsinh x area sinus hyperbolicus,
betyder, att x = sinh y		 sinh-1 x arcsinh x asinh x
y = arcosh x area cosinus hyperbolicus,
betyder, att x = cosh y		 cosh-1 x arccosh x acosh x
y = artanh x area tangens hyperbolicus,
betyder, att x = tanh y		 tanh-1 x arctanh x atanh x
y = arcoth x area cotangens hyperbolicus,
betyder, att x = coth y		 coth-1 x arccoth x acoth x
y = arsech x area secans hyperbolicus,
betyder, att x = sech y		 sech-1 x arcsech x asech x
y = arcosech x area cosecans hyperbolicus,
betyder, att x = cosech y		 csch-1 x arccsch x acsch x

Kedjelinjen

är en plan kurva, som intas av en kedja, som under linverkan av enbart tyngdkrafter hänger mellan två punkter. Ekvationer för en kedjelinje kan uttryckas med hjälp av den s k hyperboliska cosinusfunktionen:
varvid a är y-interceptet.