Ekvationer

Vanligen innehåller en ekvation en eller flera s. k. obekanta, ofta betecknade med x, y, z o.s.v. De värden på de obekanta som gör att likhet mellan ekvationens bägge led verkligen föreligger sägs satisfiera ekvationen eller utgöra lösning till den.

t.ex.:   3x + 4 = 6x - 2   (x är obekant och x = 2 är lösningen till ekvationen)

Led
Uttrycket till vänster (eller höger) om likhetstecknet i en ekvation (eller olikhetstecknet i en olikhet) kallas ekvationens resp. olikhetens vänstra (eller högra) led (eller membra).
Vänstra ledet kan betecknas V L och högra ledet H L.

Identiteter

 
några viktiga identitet om a, b och c ∈ :     (se mängdbeteckningar)

(a + b)² = a² + 2ab + b²   (a - b)² = a² - 2ab + b²	(kvadreringsreglerna)
(a + b) · (a - b) = a² - b²	(konjugatregeln)
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)n =	binomialkoefficienter se hos kombinationer
(a + b)·(a² - ab + b²) = a³ + b³
(a - b)·(a² + ab + b²) = a³ - b³
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

Absurditeter

De självmotsägande ekvationer, som inte är riktiga för något värde kallas absurditeter.

t.ex.:   x + 1 = x
           (a + b)(a - b) = a² - b² + 1

Ekvationer     (Bestämnings- eller villkorsekvationer)

t.ex.: x + 2 = 5 (bara riktig för x = 3)

Algebraiska ekvationer
På den (de) obekanta har endast utförts algebraiska operationer (addition, subtraktion, multiplikation och upphöjning till hela potenser).

En polynomekvation är en ekvation av typen p(x) = 0, där p(x) är ett polynom.

Transcendenta ekvationer
Dessa ekvationer innehåller transcendenta (icke algebraiska) operationer av den obekanta.
Några slag är: exponentialekvationer, logaritmekvationer, trigonometriska ekvationer.
transcendent (= översinnlig, övernaturlig) = icke-algebraiskt.

Diofantiska ekvationer
Ekvationer, där koefficienterna och de obekanta endast får anta heltalsvärden.

Graden av en algebraisk ekvation (polynomekvation)
Ekvationen benämns efter ingående obekanta storheters högsta dignitet (värdet av exponenten). Om denna är ett är ekvationen av första graden, om digniteten är två är ekvationen av andra graden etc. Ekvationer av högre grad än första ger flera värden för de obekanta storheterna. Dessa värden kallas rötter, och antalet rötter motsvarar ekvationens "gradtal".

Exempel för
förstagradsekvationen (den linjära ekvationen): 3x - 9 = 0   (rot: x = 3)
andragradsekvationen (den kvadratiska ekvationen): 2x² - 4x - 6 = 0   (rötter: x₁ = -1 och x₂ = 3 )
tredjegradsekvationen (den kubiska ekvationen): x³ - 3x² - 6x + 8 = 0   (rötter: x₁ = -2, x₂ = 1 och x₃ = 4)

I en exponentialekvation förekommer den obekanta i exponenten (t.ex. a^x = b).
En trigonometrisk ekvation innehåller trigonometriska funktioner av den obekanta (t.ex. sin(x) = 0.5).
I en differentialekvation utgörs de obekanta inte av tal utan av funktioner, närmare bestämt derivator.
Ett ekvationssystem består av flera ekvationer.
En lösning till systemet ska satisfiera samtliga dessa ekvationer.

Motsatsen till ekvation är olikhet (t.ex. x > a + 5).

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta resp sådana värden på de obekanta som innebär att likheten gäller.

En storhet (ett tal) som, insatt i den obekantas ställe, gör en ekvations båda led alldeles lika, sägs satisfiera (gottgöra, tillfredsställa) eller uppfylla ekvationen och kallas ett satisfierande värde på den obekanta.

En lösning till en ekvation med en obekant kallas ibland rot.

En rot till en ekvation är ett tal, som insatt i stället för den obekanta, gör ekvationen till en identitet. Man säger att roten satisfierar ekvationen. För att lösa en ekvation, måste man finna alla rötter.
Ekvationen x² - 3x + 2 = 0 har rötterna 1 och 2.

Om a är multipelt nollställe till polynomet p(x) sägs a vara rot av samma multiplicitet till ekvationen p(x) = a. Man talar exempelvis om dubbelrot, trippelrot och allmänt multipelrot.
Ekvationen x² - 2x + 1 = 0 har dubbelroten 1.

Ekvationens lösningsmängd är mängden av alla lösningar.

Existens av en lösning (rot) och antalet rötter beror på bland vilka tal söker vi lösningar.
(t.ex. komplextal, reellt tal, rationellt tal, heltal).
Exempel: x² + 1 = 0   har ingen reell lösning.

Två ekvationer är ekvivalenta om de har samma lösningsmängder.
ekvivalent = likvärdig, fullt motsvarande

t. ex. 3x + 5 = 20   ⇔ x - 5 = 0

Utan att rubba ledens likhet kan man multiplicera och dividera dem båda med samma tal eller uttryck om värdet av uttrycket (talet) är ej noll.

I ekvationen x - 3 = 5 adderas 3 på båda sidor. Då får man:   x = 8

I ekvationen 2x + 1 = x - 1 subtraheras (x + 1) från båda sidor:   x = - 2

  Multiplikation med 4 ger x = 12.

Förkorta bort ett uttryck
I en ekvation kan man förkorta bort (dividera med) ett uttryck, som innehåller obekanta (x), under förutsättning, att man samtidigt sätter detta uttryck lika med 0, och låter det bestämma en rot till ekvationen.

t. ex. Lös ekvationen:
(x + 2)(x - 5) = x + 2
Vi förkortar här med x + 2 och sätter samtidigt detta uttryck lika med 0. Den givna ekvationen ersättes då med två nya ekvationer:
1) x + 2 = 0
2) x - 5 = 1
Vi får x₁ = -2   x₂ = 6

Ekvationen av första graden med en obekant

Rekommenderade moment:
1. Ta bort nämnare (bråket bortskaffas)
2. Ta bort parenteser, inom vilka den obekanta förekommer
3. Med addition och subtraktion bortskaffas termer så, att alla termer i vilka den obekanta ingår kommer på ena sidan och bara bekanta på den andra.

Ex 1.

Ex 2.

Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem)

Linjär sägs en ekvation vara om den eller de obekanta förekommer endast i första potensen.

Ekvationssystem i algebran, två eller flera ekvationer innehållande två eller flera obekanta; man söker de lösningar som är gemensamma för samtliga ekvationer i systemet.

elimination
Vid lösandet av ekvationssystem, en metod att bortskaffa en av de obekanta och samtidigt reducera antalet ekvationer med ett.
eliminera = avlägsna, utesluta
reducera = minska
Ex:

3 x + y = 5
y = 2 x   
_________________
3 x + ( 2 x) = 5   ⇒   5 x = 5

Lösning av ekvationssystem med två obekanta

Substitutionsmetod: (insättning)
1. Lös ut en obekant i en av ekvationerna. (x eller y)
2. Sätt in detta uttryck i den andra ekvationen.
 
 

Substitution är den operation, varigenom i ett uttryck eller en ekvation en storhet ersättes genom en annan. Genom substitutionen ändras uttryckets form i enlighet med matematiskt giltiga lagar, och substitutionen är i allmänhet avsedd att förenkla uttrycket eller göra det lämpligare för den behandling, varom fråga är. Om t. ex. det givna uttrycket är x² + 2xy + y² och u - y substitueras för x, övergår på det sättet uttrycket till den enklare formen u². Substitutionerna är av stor vikt vid lösning av många ekvationer.

Additionsmetod
1. Multiplicera vardera ekvationen med lämpliga tal, så att koefficienterna för x (eller y) blir motsatta tal.
2. Addera ekvationerna ledvis så att x-termerna (eller y-termerna) försvinner.

Lösning av ekvationssystem med determinanter

Cramers regler En metod att lösa linjära ekvationssystem med användande av determinanter.
På samma sätt som här nedan för 3 obekanta görs med system med ett godtyckligt antal obekanta.

Man får om D ≠ 0:

;   ;   .

;   ;   ;   .

Om D = 0, så är en av de tre ekvationerna en följd av de andra, varför det då ej finns någon entydigt bestämd lösning till systemet. Då finns det däremot lösningar till det homogena systemet: (utom den triviala lösningen x = y = z = 0)
trivialt (i matematiken) = självklart

Ett linjärt ekvationssystem är homogent om högerledet endast består av nollor.

För ett homogent ekvationssystem gäller följande sats: Den homogena ekvation har lösningar (andra än x = y = z = 0) om och endast om D = 0.

T ex fås lösningen till ekvationssystemet

enlig Cramers regel till

Ekvationer av andra graden med en obekant

Allmän form (kanonisk form):
En ekvation av andra graden är av formen (eller kan förenklas till formen)

ax² + bx + c = 0   och   a ≠ 0

Kanonisk (regelrätt, mönstergill) form i matematiken är den mest standardenlig, konventionell och logisk form.

Normalform:
Division med koefficienten för x² reducerar ekvationen till normalformen:

x² + px + q = 0    (p = b/a och q = c/a)

Lösning av en ekvation av andra graden
Om en ekvation av andra graden, saknar förstagradsterm (p = 0), kan den skrivs på formen:

x² = a

Om a > 0, har denna ekvationen två reella rötter, nämligen x₁ = och x₂ = -
Om a = 0, har ekvationen endast roten x₁ = x₂ = 0.
0m a < 0, har ekvationen inga reella rötter.

Om en ekvation av andra graden saknar den konstanta termen (q = 0), kan den skrivas på formen

x² + px = 0

Om man bryter ut faktorn x får man   x(x + p) = 0
Här är en produkt som är noll.
Ekvationer två reella rötter: x₁ = 0 och x₂ = - p.

Lösning av en ekvation av andra graden genom kvadratkomplettering

Vi antar, att ekvationen är skriven på normalformen: x² + px + q = 0. Eftersom
blir uttrycken x² + px och x² - px jämna kvadrater efter addition av
Man skall alltså lägga till kvadraten av halva koefficienten för x.

Ex 1.		Ex 2.
			x² + 4x - 60 = 0 x(x + 4) = 60
			x² + 2x +2x =(x + 2)² -2² = 60
			x² + 2·2x + 2² =(x + 2)² = 64   x + 2 = ±8   x1 = 6;       x2 = -10

Formler för lösning av ekvationen av andra graden

ekvation är skriven på	formel för rötterna
x² + px + q = 0
ax² + bx + c = 0	Uttrycket   D = b² - 4ac kallas för ekvationens diskriminant.     Om D > 0, har ekvationen två reella, olika rötter.     Om D = 0, har ekvationen två reella, lika rötter.     Om D < 0, saknar ekvationen reella rötter.

Samband mellan rötter och koefficienter till en andragradsekvation.

För en andragradsekvation, skriven i normalform x² + px + q = 0
gäller:

Om rötterna betecknas med x₁ och x₂, är

Bevis: En ekvation, vars rötter är x₁ och x₂, kan skrivas

Ekvationer av tredje graden med en obekant

Tredjegradsekvation (kubisk ekvation) i kanonisk form

ax³ + bx² + cx + d = 0   och   a ≠ 0

eller (delas med a och istället x införts variabeln )

y³ + 3py + 2q = 0

och

Uttrycket   D = q² - p³ kallas för diskriminant för tredjegradsekvationen.

    Om D > 0, har ekvationen en reell, och två konjugata komplexa rötter.
    Om D = 0, har ekvationen två reella rötter och minst två av de är lika.
    Om D < 0, har ekvationen tre olika reella rötter.

Cardano formel för lösning av tredjegradsekvationer (y³ + 3py + 2q = 0)

y₁ = u + v,     y₂ = ε₁u + ε₂v,     y₃ = ε₂u + ε₁v

,    

Egenskaper av tredjegrads ekvationernas rötter:

Falska rötter

Vid lösning av ekvationer och ekvationssystem dyker det ibland upp s. k. falska rötter.

Exempel 1. Lös ekvationen
Multiplicerar man här korsvis, erhålles ekvationen x² - 1 = 3x - 3, som ger rötterna x₁ = 1 och x₂ = 2. Roten x₁ = 1 är falsk, ty uttrycket är inte definierad för x = 1. Man undgår den falska roten, om man först förkortar bråket i vänstra ledet med (x - 1).

Exempel 2. Lös ekvationen .
Genom att multiplicera korsvis erhålles förutom den rätta roten x = 2 den falska x = 1. Här undgår man den falska roten, om man multiplicerar med den minsta gemensamma nämnaren, vilken här är (x + 1)(x - 1).

Av dessa exempel framgår hur olämpligt det är att begagna korsvis multiplicering.

Många gånger är det lämpligt att gardera sig mot falska rötter av denna typ genom att från början utesluta nämnarens nollställen. I ovanstående exempel skriver man då (x² - 1) ≠ 0; x ≠ ± 1.