Determinant

Determinantteorins främsta uppgift är att ge lösningen till linjära ekvationssystem.

Determinant, (latin: avgränsande, bestämmande) är ett talvärde som tillordnas en kvadratisk matris enligt vissa regler. Som beteckning används två lodräta linjer på ömse sidor om schemat. Värdet av den tvåradiga determinanten (determinant av 2:ordningen):

medan

En determinant av n:te ordningen:

innehåller n rader och n kolumner i ett kvadratisk schema. Den har värdet S±a_1h·a_2i·a _3j·...·a_nm summeras över alla permutationer av de n index 1 … n. Varje term innehåller alltså en faktor från var och en av de n kolumnerna och är försedd med tecken + eller - beroende på om antalet inversioner i dess indexföljd är jämt eller udda. Determinanter innehåller alltså n!=1·2·3 … n termer.

Determinanten av 3:e ordningen innehåller 6 termer, som man erhåller genom att skriva om de två första kolumnerna efter determinanter och multiplicera och sätta till tecken som pilarna anger:

Underdeterminanter

Med underdeterminanter till ett element i en determinant menar man den determinant av närmast lägre ordning, som man får genom att i den ursprungliga determinanten styrka den rad och den kolumn, i vilken elementen står och förse den med tecknet + eller - beroende på om summan av radens och spaltens nummer är jämn eller udda.

T.ex. Underdeterminanten till elementet a₂₃ i determinanten är:
    eftersom

Utveckling efter underdeterminanter

En determinant kan utvecklas efter underdeterminanterna till en rad eller en kolumn.

T.ex.
= a₁₁ · - a₁₂ ·  + a₁₃ ·  - a₁₄ · 
 
eller
= a₁₃ ·  - a₂₃ ·  + a₃₃ ·  - a₄₃ · 

Räkneregler:

1. En determinant med enbart nollor på ena sidan om huvuddiagonalen är lika med produkten av diagonalelementen.
   Med huvuddiagonal menas den diagonal, som går från övre vänstra hörnet till nedre högra.
   Ex.:
   
   
2. En determinant blir oförändrad om man låter rader och kolumner byta plats.
   Ex.:
   
   
3. Om man i en determinant låter två rader eller två kolumner byta plats ändrar determinanten tecken.
   Ex.:
   
   
4. Om alla elementen i en rad eller en kolumn är noll, är determinanten noll.
   Ex.:
   
   
5. Om alla elementen i en rad eller en kolumn innehåller en gemensam faktor, kan denna brytas ut ur determinanten.
   Ex.:
   
   
6. Om elementen i en rad eller en kolumn är summor med lika många termer, kan determinanten skrivas som summan av lika många determinanter.
   Ex.:
   
   
7. En determinants värde blir oförändrad, om man till en av dess rader (eller kolumner) adderar eller subtraherar de med ett godtyckligt tal multiplicerade elementen i en annan rad (kolumn).
   Ex.:
   
   
8. En determinant med två proportionella rader (eller kolumner) är 0.
   Ex.: