Avbildning

I modern matematik ett allmännare begrepp än funktion.
Orden funktion, operator och transformation används delvis synonymt med ordet avbildning.

En avbildning ƒ av en mängd X (kallas definitionsmäng eller domän) in i en mängd Y (kallas målmängd eller kodomän) är en tillordning av precis ett element i Y till varje element i X.
Den matematiska beteckningen för detta är ƒ: X ↦ Y.
Det till elementet x tillordnade elementet i Y kallas bilden av x och betecknas ƒ(x), och avbildningen ƒ anges även med x↦ƒ(x). Avbildningen är given om varje par (x, y) med y = ƒ(x) är givet.
Avbildningens definitionsmängd (Df) är X, dess bildmängd eller värdemängd (Vf) är mängden av alla ƒ(x), vilket är en delmängd av Y.

En avbildning kallas
- injektiv om olika punkter i X har olika bilder (x1≠ x2  ⇒ ƒ(x1) ≠ ƒ(x2)),
- surjektiv om dess bildmängd är hela Y (Vf = Y), och
- bijektiv om den är både injektiv och surjektiv.

En bijektion har alltid en invers, som betecknas ƒ-1. Det gäller att Df-1 = Y och Vf-1 = X, samt att (ƒ-1 ○ ƒ)(x) = x för alla x ∈ X och (ƒ ○ ƒ-1)(y) = y för alla y ∈ Y.

Exempelvis är avbildningen: (där är mängden av de reella talen)

ƒ: →, x↦x2 varken injektiv
eller surjektiv 		(ƒ(2) = ƒ(-2) = 4; talen 2 och -2 har samma kvadrat)
(det finns inget reellt tal med x2 = -1)
g: →, x↦x3 bijektiv (till varje reellt tal y finns precis ett tal x sådant att x3 = y, nämligen kubikroten ur y)

Relation:
Funktion:
(moderna uppfattning)
 Bijektiv avbildning:
ƒ:a ↦ b betyder att ƒ(a)=b, där a och b tillhör specificerade mängder

Relation i matematiken samband mellan två storheter. Relation i en mängd är ett samband mellan elementen i mängden.

Vissa relationer i matematiken uttrycks med speciella symboler, t ex likhet, '='; ordning '≤'; kongruens '≅'; likformighet '~'.