Elementära räkneoperationer

Fyra enkla räknesätt (Quatuor Species)

De fyra enkla räknesätt är addition, subtraktion, multiplikation och division.

Aritmetik

Räkneläran fördelas vanligen två delar, nämligen:
      aritmetik, som handlar om räkningen med bestämda- eller siffer-tal; och
      algebra, som handlar om räkningen med obestämda tal eller bokstäver.

Ordet aritmetik (av grek. "räknekonst") används även den del av matematiken som arbetar vanligen med de hela talen och de fyra enkla räknesätten.
Ordet aritmetik används även som "räknelära", i motsats till "geometri".

Elementära räkneoperationer:

Operation (av lat. operatio "åtgärd, arbete") är en väl definierad aktivitet, åtgärd, där ett resultat erhålls från en angiven storhet (tal) eller funktion.

Operationssymboler. I matematiken kallar man sådana tecken som + (plus), - (minus) etc., som föreskriver räkneoperationer för operationssymboler.

Operand är storhet (tal) eller funktion som utsätts för en operation.

Operator (senlat., "arbetare", av lat. operor "arbeta", "vara sysselsatt med", "utföra"), i matematiken en transformation som för varje element i en viss mängd ger ett nytt element, i samma mängd eller i en annan. Ordet är delvis synonymt med avbildning och funktion men används speciellt när mängderna är vektorrum och i synnerhet när elementen är funktioner. Viktiga exempel är differentialoperatorer, t.ex. operatorn d/dx som till en funktion ger dess derivata. - Ordet används också för en symbol som betecknar en operation, t.ex. plustecknet för addition.

Addition (Sammanläggning)

Att addera två eller flera storheter är att söka den storhet, som ensam utgör så mycket, som de uppgivna storheterna tillsammans.

Varje storhet (sak eller ting), som skall adderas till en annan, heter summand eller addend. Vid uppställning av en addition eller i ett uttryck kallas den till term.
Den storhet, som är lika stor med de uppgivna storheterna tillsammans, kallas deras summa. Summan kallas även den uppställt (betecknat) additionsuttryck som a + b eller .

addend		addend		summa
3 term	+	2 term	=	5 summa
3 + 2 summa			=	5 summa

Räknesättet kallas addition (eller summering eller eventuellt sammanläggning).

Addition betecknas med tecknet plus (+).
a + b uttrycker, att a och b är adderade till en summa.

Att "summan av 6 och 2 är 8" skrivs:
6 + 2 = 8
och utläses:
"sex adderat med två är lika med åtta" eller
"sex plus två är lika med åtta" eller kortare:
"sex plus två är åtta"

Summan av talen a₁, a₂, …, a_n skrivs även .

Additionen är kommutativ, dvs. summan är oberoende av termernas ordningsföljd: a + b = b + a;
och associativ, dvs. summan av termer kan bildas på olika sätt: (a + b) + c = a + (b + c).
I en följd termer kan parenteser borttagas och ditsättas efter behag.

Endast storheter av samma slag får adderas.
Ex.: 2 cm + 5 cm = 7 cm
     4a + 2b + 5a + 6b = 9a + 8b

Om ormens längd är fem meter från huvud till svans, är längden fem meter från svans till huvud. De längder utgör inte ormens längd tillsammans till tio meter.
Man adderar inte ihop två bilnumer eller två personnummer.

Subtraktion (Fråndragning)

Att subtrahera en storhet från en annan är att söka den storheten, som säger hur mycket den ena storhet överskjuter den andra.

Denna storhet som säger, hur mycket den ena storhet överskjuter den andra eller skiljer sig ifrån honom, kallas skillnad (eller differens eller eventuellt rest, överskott). Den storhet som fråndras (subtraheras) kallas subtrahend, och det, från vilket subtraktionen verkställs (det som minskas) kallas minuend.

206 324	-	57 082	=	140 242
minuend		subtrahend		skillnad (rest)
termer

Rest kallas även återstoden vid en heltalsdivision som inte går jämnt upp.

Operanderna i en subtraktion kallas ofta för termer i likhet med operanderna i en addition.

Räknesättet kallas subtraktion (eller fråndragning eller minskning eller eventuellt undandragande).

Subtraktion betecknas med tecknet minus (-).
a - b uttrycker subtraktion mellan a och b.

Att "differensen av 6 och 2 är 4" skrivs:
6 - 2 = 4
och utläses:
"sex subtraherat med två är lika med fyra" eller
"sex minus två är lika med fyra" eller kortare:
"sex minus två är fyra" eller
"sex minskad med två är lika med fyra"

delta, eg. Δ (se grekiska bokstäver), framför en storhetsbeteckning anger differens eller ändring,
t.ex. Δl för längdändring,
       Δx=x₁-x₂ för ändring av x-värde (se differential).

Subtraktion och addition är motsatta räknesätt.
Subtraktion kan kontrolleras genom en addition:   14 - 9 = 5  Þ  5 + 9 = 14
Provet kallas subtraktionsprovet.   Subtraktionen a - b = c är riktig, om c + b = a.

Endast storheter av samma slag får subtraheras.

Term

i allmänheten på algebraiskt teckenspråk uttryckt storhet, som genom additions- eller subtraktionstecken är förbunden med andra, på samma sätt uttryckta storheter.
Varje algebraisk uttryck, som har plus eller minus före sig, kallas term.
En term med plus före sig kallas positiv term, och med minus före sig negativ term.
Första termen i en algebraisk uttryckt kan sakna tecken, om han är positiv.

Multiplikation (mångfaldigande)

Att multiplicera en storhet (ett tal) med en annan är att söka den storhet, som innehåller den ena av storheterna lika många gånger, som den andra anger. Resultatet kallas produkt.

När man multiplicerar ett tal, är det i verkligheten detsamma som att addera det ett givet antal gånger.
4 + 4 + 4 + 4 + 4  uppfattas som 5 gånger 4 och skrivs kort 5 · 4.

Storheten (talet), genom vars sammanläggning produkten uppkommit, kallas multiplikand; och talet, som utvisar hur många gånger sammanlagningen bör verkställas, kallas multiplikator. Multiplikanden och multiplikatorn kallas med ett gemensamt namn faktorer.

5 · 4 = 20 multiplikator multiplikand produkt faktorer
	utläses: fem multiplicerad med fyra är lika med tjugo fem gånger fyra är lika med tjugo fem gånger fyra är tjugo

Om multiplikatorn är ett heltal innebär multiplikation upprepad addition. Multiplikatorn är alltid ett obenämnt tal. Multiplikanden kan vara ett heltal, ett rationellt eller reellt tal, men även mer allmänt vad som helst för vilket addition är meningsfull (komplext tal, polynom, matris, modul etc.).

Multiplikationstecknet "·" är en "punkt på mitten". Multiplikationstecknet kallas även gångertecken.

Ibland skrivs tecknet × (Andreas-kors, kryss) t.ex. på miniräknare men detta bör dock ej användas i skrift
	Tecknet × förekommer för att ange format och utläses även då "gånger" (24 mm × 36 mm) men är i detta fall inte någon multiplikationstecken. Vektorprodukten betecknas med × (uttalas "u kryss v")

Ofta är multiplikationstecknet utelämnat och underförstått:
	Faktorerna sätts då i regel tätt ihop:	xyz (= x·y·z)
	När multiplikationstecknet är utelämnat före en förkortning skiljs den föregående faktorn från förkortningen:	2 log x,    bc tan A
	Multiplikationstecken kan inte utelämnas före tal, ej heller mellan bråk:	7·238x,     y·4,7c,

Multiplikation är kommutativ.
I en produkt är faktorernas ordning likgiltig: 4·3 = 3·4

Multiplikation är associativ.
Parenteser kan tas bort och sättas dit godtyckligt i en produkt: 4·3·2 = (4·3)·2 = 4·(3·2)

Multiplikation är distributiv över additionen:   a(b + c)=ab + ac.

Talet 1 är enhetselement för multiplikationen, dvs. 1 · a  =  a ·1 = a för varje tal a.

En produkt är 0, då någon av faktorerna är 0:     3 · 0 = 0.

Division (delning)

Delningsdivision:    Division i matematiken är delning av en given storhet (givet tal) med ett bestämt antal lika stora delar. Talet som delas, kallas dividend (täljare). Talet som anger hur många lika stora delar dividenden ska delas, kallas divisor (nämnare). Talet som visar varje dels storlek kallas kvot.

Innehållsdivision:    Divisionen är även att finna hur många gånger en given storhet (divisorn) ingår i en annan storhet (dividenden) och detta angivs av kvoten.
7 går upp 4 gånger i 30 och 2 enheter blir över.
Den del, som blir över, när en division utförts som icke går jämt ut, kallas rest. Blir resten 0 sägs divisionen går «jämt ut».

Av detta är tydligt att då kvoten tas så många gånger som divisorn innehåller måste dividenden återfås. Alltså är dividenden lika med produkten av kvoten och divisorn.

30	/	7	=	4	+	rest
						divisor
dividend		divisor		heltalskvot
				kvot

Varje bråk kan betraktas som en tecknad division, i vilken täljaren är dividend och nämnaren divisor.

Divisionen kan tecknas som ett bråk (), med ett kolon (30:7) eller med ett snedstreck (30/7).
Även tecknet ÷ förekommer.

Uppgiften är att för ett givet tal A (dividenden) och ett annat tal B (divisorn) finna ett tal K (kvoten), så att A = B·K. Problemet är att om A och B är heltal så kan man i allmänhet inte finna ett sådant K som samtidigt är heltal; divisionen går inte jämnt ut. De tal B för vilka divisionen går jämnt ut benämner man även divisorer (delare) till A . (Divisorerna till 12 är således 1, 2, 3, 4, 6 och 12). I allmänhet, om man endast vill betrakta heltal, skriver man A = B·K + R, där R betecknar resten. (30 = 7·4 + 2)

Division och multiplikation är motsatta räknesätt.

Man kan inte dividera med 0.

Divisionsuppställningar (divisionsalgoritmer)

530/35 ≈ 15,14

"Liggande stol"		"Trappa"

Länk till de enkla norska divisionsalgoritmer
http://www.matematikk.net/klassetrinn/klasse08/multiplikasjon.php#sec2

Kort division

Kort division är en didaktisk benämning på förfarandet att dividera med ensiffriga tal utan att behöva ställa upp divisionsalgoritmen.

En "enkel" kort division kan se ut så här: 468/2 = 234. Först delar man hundratalet (400), sedan tiotalet (60) och sist entalet (8). Men tyvärr är ju inte alla divisioner så enkla. 468/3 blir genast knepigare. Det vanligaste sättet att lösa en sådan uppgift ser du här under. Så här brukar man resonera:

"3 i 4 går 1 gång. Det blir 1 över (minnessiffra)"

"3 i 16 går 5 gånger, det blir 1 över (minnessiffra)"

"3 i 18 går 6 gånger"

Räknelagar och räkneregler

För räkning med de reella talen gäller följande räknelagar:

(a + b) + c = a + (b + c)	a · (b · c) = (a · b) · c	associativa lagar "association" = förening
a + b = b + a	a · b = b · a	kommutativa lagar "kommutation" = utbyte
a · (b + c) = a · b + a · c		distributiva lagen "distribution" = fördelning
a + b = a + c   medför   b = c	a · b = a · c   och   a ¹ 0 medför   b = c	annulleringslagar "annullera" = upphäva
a + 0 = a   för alla   a	a · 1 = a   för alla   a a · 0 = 0   för alla   a
Om a och b är reella tal, gäller en och endast en av följande utsagor: a < b,   a = b,   a > b (ordningslagar)

Algoritm
Vanligen en beräkningsmetod, som arbetar stegvis och hela tiden upprepar samma process.
T.ex. divisionsuppställningar, Euklides algoritm

Prioriteringsregler

• prioriteringsordning:
  1. funktioner, relationer (t.ex. sinus)
  2. exponentering (potens/rot/logaritm)
  3. multiplikation/division
  4. addition/subtraktion/negering (motsatt tal)
• prioritering från vänster vid räkneoperationer med samma prioritet
• parenteser bryter ordningen ("går först").

Parentes

Tecknet "( )" används för att ange, att det inneslutna uttrycket skall betraktas som ett enskilt element. I t.ex. a(b + c) skall parentesen b + c uppfattas som en enskild faktor B, vilket betyder, att uttrycket är av formen aB; utan parentes skulle uttrycket betyda ab + c, som är av formen A + c.

Uttryck inom parentes uträknas först vid beräkningar.

T ex

Ett bråkstreck, ett rotstreck, en exponent fungerer som en parentes.

T ex